问题驱动探究 主体提升素养*——以“绝对值不等式”教学为例

(镇海中学,浙江 宁波 315200)

1 背景分析

“绝对值不等式”是人教版高中数学教材《数学(选修4-5)》第一章“不等式与绝对值不等式”中的重点内容，起着承前启后的作用.它既是基本不等式之后对不等关系刻画的又一次拓展，也为绝对值不等式的解法奠定了理论基础.本部分内容属于高考热点，利用绝对值不等式的性质求解最值，对学生的能力要求较高.基本不等式的学习经验可以使学生更好地理解绝对值不等式的几何意义和等号成立的条件.但绝对值不等式的性质学习绝不是一个机械地记忆和模仿的过程，而是在理解该性质的产生与发展的基础上，让学生作为主体自我体悟与建构，才能熟练和灵活地运用.

为达到教学目标，突破教学难点，本节课笔者采用了“教师稚化思维，问题驱动探究”[1]策略，即教师降低思维的层次，切合学生的心态，模拟学生的思维方式，以与学生同样的情境、热情和认知实现师生思维的同步，并在学生的最近发展区以问题驱动学生探究完成知识的建构．接下来笔者谈谈在“宁波市第十一届特级教师跨区域带徒暨浙派名师名校长培养工程”活动上的这节示范课中对本节课的处理.

2 教学过程

2.1 复习回顾，找生长点

先回顾一个实数的绝对值的意义，从代数角度看可分段表示，从几何角度挖掘可理解为数轴上坐标为a的点A到原点的距离.接着发散到两个实数a,b，由学生回答|a-b|的几何意义：数轴上坐标为a的点A到坐标为b的点B的距离.教师点出两者的联系，即用b替换了|a-0|中的0，几何上表现为将坐标原点平移至b所对应的点B，让学生充分感受可将“距离”作为研究绝对值不等式的基本出发点.

设计意图教学应注重知识的整体性和连贯性，将绝对值的几何意义“距离”作为绝对值不等式的生长点，而无需另起炉灶，重新创设情境.让学生明确本节课的基本出发点，有利于后续对绝对值不等式的理解，同时让学生在熟悉的环境中开展学习，激发了学生的学习兴趣和热情.

2.2 类比研究，自主探索

类比得出不等式基本性质的过程，采用数形结合的方法讨论绝对值不等式的性质.

问题1a,b是实数，用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b|表示出来，你能发现|a|+|b|与|a+b|之间的大小关系吗？

请生1板演(分类情况不全)，教师追问生1：在数轴上a,b对应的点只有这种位置关系吗？生1自我完善.

这时自然出现按照a,b的符号讨论，进而引导该学生进行完整的分类：ab≥0与ab<0.从离开原点的距离方面进行理解：同号可使距离产生真正的叠加，而异号则有一部分距离需要抵消，从而在数轴上直观地呈现距离的大小关系.

师：同学们能否将其抽象成结论？

生2：若a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时等号成立.

师：非常棒！这就是定理1.

设计意图教师稚化思维，与学生一起以距离为出发点，从数轴发现不等关系，并引导学生抽象成定理1，进一步展示了距离对研究绝对值不等式的重要意义，与此同时学生获得了探究成功的体验，激发了他们的学习兴趣.

2.3 注重联系，符号表示

问题2我们对|○|≤|♀|+|□|这个形式的不等关系并不陌生，能往“| |”内放入哪些对象呢？

生3：可以放入集合，如|A∪B|≤|A|+|B|表示A∪B的元素个数不大于A与B的元素个数之和.

教师惊喜于学生的智慧，全班爆发掌声.

生4：既然a,b表示所有实数，那它当然也可以是实数间的算式，若a,b,x∈R，则|a-b|≤|x-a|+|x-b|.

师：将纯粹的数推广到算式，真不错！这就是定理2.

定理2|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，取到等号.

师：你能说说这个式子的几何意义吗？

教室中陷入了沉寂，学生过分纠结于可代入哪些对象，而将本节课的出发点“距离”丢到了一边.教师点拨定理2中b所对应的点可看作由定理1中数轴原点平移得到，定理2的几何意义即为点A,C到点B的距离之和不小于点A,C间的距离.

设计意图发散性的问题给学生无限的想象空间，新知与旧知相互交融，无形之中也建构了知识框架，并且自然地推进着课堂教学，大大激发了学生主动参与探究的热情，充分发挥了学习主体性.

此时教室的气氛相对冷静.

问题3能否放入二维平面中的向量a,b，代替一维实数a,b呢？

一石激起千层浪，学生似乎又找到了新的知识生长点.

生5：根据向量加法的三角形法则，可知|a+b|<|a|+|b|.

教师追问：等号还能取吗?

生5(自我补充)：应该在a,b同向时取等号.

师：由于定理1中的不等式与三角形的这种关系，则称|a+b|≤|a|+|b|为绝对值三角不等式.我们也由此得到了它的几何解释，有利于学生对不等式的直观理解.

问题4如何从代数推理的角度证明定理1中的不等式呢？

师：证明不等式最基本的方法为作差法，基于不等式两边均是含绝对值的非负数，因此可先两边平方后再进行比较.左边=|a|2+2ab+|b|2，右边=|a|2+2|a|·|b|+|b|2，于是只需讨论ab的符号即可得到结论.

从最初的数轴发现不等式，经历代入向量得出它的几何解释，最后从代数推理的角度得到严格证明，从多个维度考虑同一事物，体现了联系的思想.

设计意图几何意义的挖掘有利于增强学生对不等式的直观理解和记忆，严谨的代数证明再次向学生表明数学的科学性和严谨性.

2.4 分组讨论，知识延伸

问题5已知|a|+|b|是绝对的增加，而|a|-|b|则是绝对的减小，那么请同学们分组探究，从距离出发考虑它与|a+b|的关系.

生6：通过代入特殊值a=3,b=-1得到它们相等，而当ab>0时,|a|-|b|<|a+b|.

师：非常好，特殊值便于我们直接得出结论，能否把取等号的情形更精炼地表述出来？

生7：要取到等号，首先要保证|a|>|b|>0，同时ab≤0.

师：能否将其推广，使取等条件适当简化.

生8：我们组认为可拓展成||a|-|b||≤|a+b|,当且仅当ab≤0时，取到等号.

师：非常好！结合定理1可得不等式链

||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

至此我们明白了绝对增加的|a|+|b|及绝对减小的||a|-|b||与不明确变大变小的|a+b|之间的关系.

问题6那么尚未登场的|a-b|与它们绝对值的和差之间的关系又如何呢？

生9：减法是加法的逆运算，因此可以将|a-b|看成|a+(-b)|，它的形式可以继承，但是取等条件都要变号.

教师给以肯定，全班报以掌声.

设计意图进一步用问题驱动探究，旨在实现知识的升华和延伸.由于问题本身难度较大，因此采用分组探究的方式组织课堂，教师通过不断的追问，引导学生逐步完善不等式，将课堂引向高潮.师生互动和谐，思维达到同频共振的阶段.

2.5 例题讲解，学以致用

例1求函数y=|x-10|+|x-20|的最小值.

解法1y=|x-10|+|x-20|≥|20-10|=10,当且仅当10≤x≤20时，取到等号.

解法2数轴上到坐标为10和20的两点的距离之和不小于两点间距离10，当且仅当10≤x≤20时，取到等号.

变式1求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|的最小值.

变式2求函数y=|2x-20|+|x-20|的最小值.

变式3求函数y=|x-10|+|x-20|+|x-30|+|x-40|的最小值.

按分段点从小到大排列绝对值，大小配对，依次用定理2求出最小值，并最终在各对的交集取等号.

知识升华若有偶数个分段点，则在最中间的两个分段点间取最小值；若有奇数个分段点，则在中间那个分段点取最小值.

设计意图出于教学时间的考虑，教师提炼课本例2，检测学生对绝对值不等式的掌握情况，然后加以几何意义的挖掘，深化问题的理解.接着在学生的最近发展区设问作相关拓展，有利于学生理解问题的本质.

2.6 总结反思，提升素养

本节课我们以距离为基本出发点研究绝对值不等式，得到了哪些相关性质？涉及到了哪些数学思想呢？(联系、数形结合、分类讨论、整体代换.)对我们而言，提升了哪些数学核心素养呢？(逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学运算.)

设计意图问题引领，总结反思，提升学生数学核心素养.

3 教学反思

3.1 稚化思维搭建，问题驱动探究

由于教师对各知识间的起承转合了如指掌，而学生则是初次接触，对陌生事物难免存在畏惧心理，导致这两大课堂主体间的经验和认知的差异，产生了理解上的冲突.因此数学教学应将重点和难点作为稚化点，以学生已有的认知为联结点，以问题驱动探究，化繁为简，在思维的水到渠成中掌握新知，不断提高学生分析问题和解决问题的能力，增强学生攻坚克难的信心，提升课堂教学的效能.

3.2 准确拿捏教材，合理设计问题

教师在设计问题时不能仅停留在某节课的内容，而应关注教材的连续性和整体性，准确拿捏，并进行系统的分析[2].通过课堂上的不断设疑、破疑、再设疑来实现教学目标，同时渗透数学思想，逐步提升数学核心素养，从而构建高效且具有生长点的数学课堂.虽然教材是我们设计教学目标和教学环节的重要依据，但我们又不能仅以它作为依据，还应当充分考虑学生的教学主体作用，立足学生的最近发展区设计问题，关注问题的指向性和有效性，使学生能准确切入问题，从而高效地推进课堂发展.

3.3 从“学会”到“会学”，形成问题意识

“学会”重在掌握知识，解决眼下问题，而“会学”重在掌握学习的策略和方法，以便主动获取新的知识，它是学生终身学习的需要.教师通过精心设计的问题，点燃学生思维的火花[3]，促进其理性思维的发展，为学生的可持续发展和终身学习创造条件，使学生面对问题时，会产生困惑和探求的欲望，形成强烈的问题研究意识，最终设法解决问题.

总之，教师应钻研教材，把握数学本质，在学生的最近发展区设计合理的问题，精心安排教学活动，提高课堂有效性，不断提升学生的数学核心素养.