微积分在概率论中的应用

王焕男

摘 要：微积分和概率论同是高等数学中的重要学科，也都属于理工类和经管类各专业的一门必修公共基础课。微积分作为理论基础，能够为学生打下良好基础，同时也是数学课程的重要工具。概率论是微积分学习的一项延续，通常大学课程都是先开设微积分课程，在此基础上再开设概率论，因此，在微积分和概率论这两门课程的学习上始终是被关注的重点，文章将从几个方面阐述微积分在概率论中的应用，并举例说明，以供参考。

关键词：微积分；概率论；应用

中图分类号：O172 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2019）02-0176-04

Abstract： Calculus and probability theory are both important subjects in higher mathematics， and they also belong to a compulsory basic course of science and technology and economic management. Calculus as a theoretical basis can lay a good foundation for students， but also is an important tool in the mathematics curriculum. Probability theory is a continuation of calculus learning. Usually， college courses begin with calculus courses， and then on this basis， the study of calculus and probability theory is always the focus of attention. This paper expounds the application of calculus in probability theory from several aspects， and illustrates it with examples for reference.

Keywords： calculus； probability theory； application

在实际应用过程中，微积分不仅在天文、力学、化学、生物、工程学、经济学等自然学科中，在社会学和科学等各个分支的学科中都广泛的应用。作为客观世界的事物，小到粒子、大到宇宙，无时无刻不在变化着，在这变化的过程中引入变量概念，就可以用现象来描述数学了，在对于函数的概念和运用上也能够再次加深，同时科技的发展也需要数学分支来进行几何生产，这也就是对微积分这门课程的认识。

概率论中有两类重要的函数：分布函数、概率密度函数。微积分在这两类函数中有重要的应用。下面首先给出微积分的一些相关知识点，再介绍微积分在一维随机变量的分布函数、密度函数及其数字特征中的应用。微积分在多维随机变量及其分布中的应用类似于一维随机变量，比如联合分布函数、边缘分布函数、联合概率密度、边缘概率密度、条件概率密度，就是由原来的一元函数变成多元函数，由原来的定积分变成二重积分，这里不再阐述。

1 预备知识

1.1 常量与变量

我们在观察某一现象的变化过程中，常会遇到许多不同的量，其中有些量在过程中不变化，始终保持一定的数值，我们称这种量为常量，常用a，b，c等符号表示；而有些量在过程中是变化的，即可以取不同的数值，我们称这种量为变量，常用x，y，z等符号表示.

2 集合在随机事件间的关系及运算中的应用

概率论是研究随机现象及其统计规律性的一门数学学科；随机现象是通过随机试验来研究的；一个随机试验E的所有可能结果组成的集合称为样本空间；样本空间中的元素，即每个可能结果称为样本点；随机试验E的样本空间的子集（随机试验可能出现的结果）称为E的随机事件，简称事件。通常以大写英文字母A，B，C来表示事件；仅含一个样本点的事件称为基本事件；在每次试验中必然会发生的事件称为必然事件，它包含样本空间中所有的样本点；不包含任何样本点的事件，即在每次试验中都不会发生的事件称为不可能事件。

样本空间的引入使得我们能用集合这一数学工具来描述随机事件。这样一来，试验E的任何一个事件都是其样本空间的一个子集，可以通过集合的运算实现事件之间的运算，为概率的计算奠定了基础。当将事件看作集合时，随机事件间的关系和运算与集合中对应的关系和运算完全一致（如下表）。

3 微积分在分布函数中的应用

为了描述随机变量的概率分布，我们引进了分布函数的概念。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

6 结束语

利用微积分来解决概率问题，使复杂问题简单化。在目前经济全球化的大背景下，对经济发展规律的研究更加显得迫切和重要，而数学在这一过程中的作用更加重要。微积分、线性代数、概率论与数理统计是三门重要的基础课，三者之间有着千丝万缕的联系。微积分这门课程的思想和方法是人类文明发展史上的智慧结晶，它不仅提供了解决实际问题的有力數学工具，同时还给学生提供一种思维的训练，帮助学生提高作为复合型、创造性、应用型人才必需的文化素质和修养。

参考文献：

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[3]鲍兰平.公共微积分及其应用[M].上海：复旦大学出版社，2017.

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