具有尖峰解的三分支 Camassa-Holm 系统的一种弱解的局部弱适定性∗

张媛媛，胡巧怡

(华南农业大学数学与信息学院，广东 广州 510642)

本文研究以下Camassa-Holm (CH)系统的Cauchy问题：

(1)

其中，m=u-uxx,n=v-vxx,l=w-wxx。定义：

(2)

(3)

(4)

mt+2mux+umx=0(m=u-uxx,x∈R,t∈R+)

当w≡0时，问题(1)成为了一个双分支CH方程[19]

1 积分系统的形式推导

取α=u+v+w的流φ:R→R，即

(5)

假设方程(5)有唯一解，对其两边关于s求导，可解得φs(s,t)>0,(s,t)∈R×R+。令

(6)

现构造拉格朗日坐标系下的新向量场(Γ,M,N)：

(7)

(8)

根据式(4)-(8)，以及G′′*f=G*f-f(f∈L2)，可得

(9)

[-G*(H(Y)∘ψ)-G′*(K(Y)∘ψ)]·

(10)

[-G′*(H(Y)∘ψ)-G*(K(Y)∘ψ)+

F3(Y)(s,t)

(11)

(12)

另外，再次利用G′′*f=G*f-f(f∈L2)，易得以下结论

∂sQ11(Y)=φS·Q21(Y),∂sQ12(Y)=

φS·[Q22(Y)-K(Y)],

∂sQ21(Y)=φS·[Q11(Y)-H(Y)],

∂sQ22(Y)=φS·Q12(Y)

(13)

此结论将在后文中被多次运用。

2 预备引理

由上述定义易知，对∀φi-Id∈H1∩W1,∞(i=1,2),φi∉L2∪L∞(i=1,2), 但φ1-φ2∈H1∪W1,∞。另外，由于ψx(x,t)=φs(ψ(x,t),t)-1，故

证明以下省去t。因为φi∘ψi=Id(i=1,2)，故

(ψ1-ψ2)(x)=

ψ2∘φ2(ψ1(x))-ψ2∘φ1(ψ1(x))≤

b-1φ2(ψ1(x))-φ1(ψ1(x))

证毕。

引理2 若φ∈C1(R+;L∞)，则ψt=-ψxφt∈L∞。

证明任取t0∈R+，对∀(x,t)∈R×R+，利用φ∘ψ=Id，可得

-ψx(φ(s,t0),t)φt(s,t0)

证毕。

3 积分系统解的存在唯一性

和

(i,j=1,2)

由式(8)中H，K的定义、引理1，易得

4 系统等价

yx(x,t)=N(ψ(x,t),t)

(14)

Mst=(-Q11-Q12+K)(Y)·φs，φst=As，

于是Jt≡0，又因为J0=0，故J≡0。矛盾，式(14)得证。

下面证明以上构造的解y∈X。由(y,yx)=(M∘ψ,N∘ψ)易得y(·,t)∈(H1∩W1,∞)3。

又因为

(t1,t2∈(0,T])

对右边第一项做如下放缩，

y∈C((0,T];(H1∩W1,∞)3)

根据系统(4)，显然有yt(·,t)∈(L2)3。利用系统(4)及Young不等式，有

借助h和k的定义，易得它们关于时间的连续性，又因为y∈C((0,T];(H1∩L∞)3)，所以

y∈C1((0,T];(L2)3)

现在开始本命题第二部分的证明。由于y∈L∞((0,T];(W1,∞)3)，故α(·,t)=(u+v+w)(·,t)是R上的利普希兹连续函数，从而

(15)

在C1((0,T];W1,∞)上有唯一解，且解为一微分同胚。类似式(6)-(8)构造A、Γ、M、N、Y、H和K，下面证Y满足方程(12)。类似式(9) -(10)的推导，易得

则

由式(13)可得

Mst=∂sF2(Y)=∂s(-Q11-Q12)(Y)=

φs(-Q21-Q22+K)(Y)=φsF3(Y)+As·N

于是

证毕。

由命题1知，系统(12)有局部唯一解，故由命题2中系统(4)的Cauchy问题与系统(12)的等价性可推得，系统(4)有局部唯一解。

命题3 任给y0i∈(H1∩W1,∞)3(i=1,2), 存在Ti(i=1,2)，使得

yi∈C1((0,Ti];(L2)3)∩C((0,Ti];

(H1∩L∞)3)∩L∞((0,Ti];(W1,∞)3)(i=1,2)

满足方程(4)，且

其中T=min{T1,T2}。