正弦变换混沌系统及性能分析

田小平, 高晓芸, 吴成茂

(西安邮电大学 电子工程学院, 陕西 西安 710121)

混沌系统是非线性系统里的一类特殊动力系统，对给定的初始输入会产生复杂的、伪随机的、长期不可预测的输出。混沌系统在生物、医学、物理、工程和技术等多个交叉学科领域有重要的应用价值[1]。在一些情况下，混沌的无序性、混乱性、伪随机性和初始值高度敏感性是有用的，比如在流体混合、生物系统、保密通信等方面。另一方面，混沌系统具有的遍历性、伪随机性、有界性、对初始值高度敏感性，使得混沌系统生成的伪随机序列很适合于信息加密，具有良好的扩散和混乱效果[2]。生成适当的混沌系统尤为重要。

目前，大量的研究致力于抵消混沌退化和提高现有混沌系统的性能。这些工作主要分为两个方面，一方面是用不同方法干扰现有混沌系统信号，如文献[3]提出了一种利用已有的混沌映射获取新混沌映射的轮切换系统，但生成的新混沌映射的混沌性能有限，不具有鲁棒性[4]。文献[5]引入了一个参数控制混沌系统来生成新的混沌映射，生成的混沌映射一些具有好的鲁棒性，而有的则混沌性能比较差，不具有稳定性[6]。另一方面，是设计具有更好混沌性能的新混沌系统。与混沌系统的信号干扰技术相比，新混沌系统的产生可以更好地促进基于混沌的实际应用，但也具有一定的局限性。如文献[7]提出了一个新的一维混沌系统，可以生成具有鲁棒性的新混沌映射，其中包含的模块化操作，使得解析该混沌映射的性能较困难[8]。

为了改善经典Logistic、Sine和Tent等映射仅在小范围内具有混沌行为且复杂性低等不足，本文拟提出一种基于正弦变换的混沌系统(sine-transform-based chaotic system，STBCS)作为一维混沌映射的一般框架。该方法首先对现有混沌映射的输出进行线性加权组合，再对组合结果进行正弦函数变换并产生新的映射。最后利用Logistic、Sine和Tent三个经典混沌映射构造3个新的混沌例子，通过分叉图和Lyapunov指数法检验该类映射具有的混沌性和鲁棒性，并对该类映射产生序列所对应的样本熵和Kolmogorov熵进行测试，以分析其复杂性和不可预测性。

1 经典的Logistic、Sine和Tent混沌映射

Logistic映射、Sine映射和Tent映射是常见的三种经典的混沌系统，它们将被用作种子映射来生成新的混沌映射。

Logistic映射可以在一定范围内存储和折叠变量，在[0,1]范围内输出一个变量[9]。理论上，Logistic映射可以定义为

xi+1=L(xi)=4rxi(1-xi)。

(1)

其中，动态系统的输入为xi，输出为xi+1(i=0,1,2,…)；L(xi)表示Logistic映射；r是控制参数。

Sine映射是由正弦函数派生的正弦映射，它将[0,1/π]范围内的输入角度转换到一定范围内输出[10]。正弦映射的数学模型为

xi+1=S(xi)=rsin (πxi)。

(2)

其中S(xi)表示Sine映射。

Tent映射根据其范围拉伸或折叠输入变量，如果输入小于0.5，则延长输入；否则折叠输入[11]。Tent映射可以定义为

(3)

其中T(xi)表示Tent映射。

通过系统分叉图和系统的Lyapunov指数2个指标可以确定1个系统是否处于混沌状态。分叉图用于描述动态系统的输出范围及其随参数的变化，正的Lyapunov指数表示存在混沌行为[11]。Logistic映射出现混沌行为的区间为[3.57,4]，占整个区间的比例为10.75%；Sine映射出现混沌行为的区间为[3.40,4]，占整个区间的比例为15%；Tent映射出现混沌行为的区间为[0.40,1]，占整个区间的比例为60%。

2 正弦变换混沌映射

2.1 基于正弦变换混沌系统构造方法

基于正弦变换混沌系统构造原理，如图1所示。

图1 基于正弦变换混沌系统构造的原理

图1中，f(a,xi)和g(b,xi)分别是具有控制参数a和b的2个种子映射，该组合能线性地组合2个种子映射的输出，正弦变换对组合的结果执行非线性变换。在每次迭代中，输入xi被同时反馈到f(a,xi)和g(b,xi)中，然后对f(a,xi)和g(b,xi)的组合输出进行正弦变换。

设N(xi)表示所提出的STBCS，其定义为

xi+1=N(xi)=sin (π(f(a,xi)+g(b,xi)))。

(4)

任何现有的一维混沌映射都可以用作STBCS的种子映射。用户可将种子映射f(a,xi)和g(b,xi)设置为相同或不同的混沌映射。

(1) 当f(a,xi)和g(b,xi)是相同的一维混沌映射时，STBCS可表示为

xi+1=sin (π(f(a,xi)+f(b,xi)))。

(5)

或者

xi+1=sin (π(g(a,xi)+g(b,xi)))。

(6)

在该STBCS系统中，2个不同控制参数混沌映射输出线性组合，而并非线性变换以获得更复杂的混沌行为，STBCS的混沌性降低。

(2) 当所选f(a,xi)和g(b,xi)是2个不同的一维混沌映射时，STBCS定义在式(4)具有交换性。交换其2个种子映射f(a,xi)和g(b,xi)的位置，STBCS会生成相同的混沌映射。STBCS系统提供了很大的灵活性，使用不同的f(a,xi)和g(b,xi)可以生成大量新的混沌映射。这些新的混沌映射和它们所对应的种子映射完全不同，具有更复杂的混沌行为。

此外，图1所表示的STBCS结构可以进一步扩展为3个或更多个种子映射。对于N个种子映射的STBCS系统扩展原理如图2所示。

图2 具有N个种子映射的STBCS原理

图2中，每一次迭代会将输入xi同时反馈到N个种子映射中，即f1(a1,xi),f2(a2,xi),…,fN(aN,xi),并且对所有种子映射的输出进行正弦变换，这为选择种子映射提供了灵活性，生成的混沌映射具有更复杂的混沌行为和参数设置，因此它们具有更好的混沌性能，并产生更多的随机、不可预测的输出序列。然而利用更多的种子映射可能会带来许多一些负面影响，比如时间延迟，实施困难和分析复杂的问题。

2.2 Lyapunov指数法分析混沌行为

在所有确定混沌行为的方法中，Lyapunov指数是重要的、被广泛接受的指标之一[12]。对于初始状态稍有不同的相同混沌系统的2条轨迹，Lyapunov指数测量它们的平均指数散度。对于1个可微分的一阶差分方程xi+1=f(xi)，Lyapunov指数可以定义为

(7)

负的Lyapunov指数意味着它们轨迹的距离减小，并且随着时间的推移，它们将最终重叠，从而能识别周期性行为。正的Lyapunov指数表示初始状态略有不同的动力系统的2个轨迹在每个单位时间内呈指数分布，随着系统演化它们将完全不同，从而可以识别混沌行为。如果λf(x)>0，则认为动态系统xi+1=f(xi)具有混沌行为。

为了分析式(4)所对应的STBCS混沌行为，需要首先使用1个中间方程来表示2个种子映射的组合。定义STBCS种子映射的组合为

H(xi)=f(a,xi)+g(b,xi)，

则STBCS的定义式可以重写为

xi+1=N(xi)=sin (πH(xi))。

(8)

(9)

根据式(7)中Lyapunov指数的定义，可以得到STBCS的Lyapunov指数为

(10)

如果一阶方程H(x)是混沌的，那么STBCS总是混沌的，它比H(x)和参数r=1对应的正弦映射都具有更好的混沌性能；如果H(x)不是混沌的，则STBCS也有混沌行为。STBCS是一个通用的框架，STBCS混沌行为的稳健性不能直接分析，稳健混沌行为的分析通常适用于有特定表达式的混沌映射。

2.3 新型混沌系统产生的3个例子

使用提出的STBCS，可以设置不同的一维混沌映射f(a,xi)和g(b,xi)作为种子映射以生成大量新的混沌映射。为了显示STBCS的有效性，将分析以3个现有的一维混沌映射生成的3个新型混沌映射。为了简单起见，取控制参数a、b分别为r和1-r，并按3种不同的方式加以设置。

(1) Logistic-Sine(LS)映射

当选择种子映射f(a,xi)为Logistic映射，g(b,xi)为Sine映射时，可以生成1个新型混沌映射，即Logistic-Sine(LS)映射。将其控制参数a、b分别设置为r和1-r时，获得的LS映射可定义为

xi+1=sin(π(L(r,xi)+S(1-r,xi)))= sin(π(4rxi(1-xi)+(1-r)sin(πxi)))。

(11)

(2) Logistic-Tent(LT)映射

当选择种子f(a,xi)为Logistic映射，g(b,xi)为Tent映射时，可以生1个新型混沌映射，即Logistic-Tent(LT)映射。将其控制参数a、b分别设置为r和1-r时，对应的LS映射可定义为

(12)

其中，P=4rxi(1-xi)。

(3) Tent-Sine(TS)映射

当选择种子映射f(a,xi)为Tent映射，g(b,xi)为Sine映射时，可以生1个新型混沌映射，即Tent-Sine(TS)映射。将其控制参数a、b分别设置为r和1-r时，对应的LS映射可定义为

(13)

其中，Q=(1-r)sin(πxi)。

3 实验结果及分析

为了验证本文所提出的STBCS系统可以生成具有更好混沌性能的新混沌映射。拟评估由STBCS生成的3个新的混沌映射，并将这些新的混沌映射与其相应的种子映射进行比较。具体从分叉图、Lyapunov指数、样本熵(sample entropy, SE)[13]和Kolmogorov熵[14]4个方面进行分析。

3.1 混沌性和鲁棒性分析

分叉图用于描述动态系统的输出范围及其随参数的变化，不仅能揭示系统不同状态之间的联系和转化，也是研究失稳和混沌产生的机理和条件的重要途径，分叉与系统的结构稳定有着十分密切的联系。LS映射、LT映射、TS映射随着其控制参数r变化的分叉图，如图3所示。

(a) LS映射的分叉图

(b) LT映射的分叉图

(c) TS映射的分叉图

从图3可以看出，LS、LT、TS映射的分叉图均随机均匀分布在所有参数范围内，占整个区间的100%，表明新产生的3个混沌映射在整个参数范围内具有鲁棒性的混沌行为。

运用Lyapunov指数进行比较说明，更能突出问题。Lyapunov指数是定量描述这一现象的量，即衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大Lyapunov指数是否大于零直观地判断出来，只要存在一个正的Lyapunov指数，就说明系统处于混沌状态，且Lyapunov指数正值越大表示性能越好。LS、LT、TS映射以及它们种子映射的Lyapunov指数，如图4所示。

(a) LS映射及其种子映射的Lyapunov指数

(b) LT映射及其种子映射的Lyapunov指数

(c) TS映射及其种子映射的Lyapunov指数

从图4中可以看出，种子映射仅在少数的参数范围内具有正Lyapunov指数，由所提出的STBCS方法生成的新混沌映射的Lyapunov指数在参数r∈[0.25,1]范围内均为正，这意味着新的混沌映射在参数r∈[0.25,1]范围内都具有混沌行为，且由STBCS生成的3个混沌映射比由它们对应的种子映射生成的混沌映射具有更大的Lyapunov指数，这表明它们有良好的混沌性和鲁棒性。

3.2 复杂性分析

样本熵来源于近似熵，是对时间序列复杂度的度量，它可以用来描述由动态系统产生序列的相似性[15]。样本熵越大，其规律程度越低，即动态系统越复杂。由STBCS生成的新混沌LS映射和它的种子映射即Logistic、Sine映射的SE曲线图如图7(a)所示，新混沌LT映射和它的种子映射即Logistic、Tent映射的SE曲线图如图7(b)所示，新混沌TS映射和它的种子映射即Tent、Sine映射的SE曲线图如图7(c)所示。

(a) LS映射以及它们种子映射的样本熵

(b) TS映射以及它们种子映射的样本熵

(c) TS映射以及它们种子映射的样本熵

可以观察到由所提出的STBCS生成的所有新混沌映射在整个参数范围内的SE值均大于其种子映射即Logistic映射、Sine映射和Tent映射的SE值。表明STBCS生成的新混沌映射规律程度低，即动态系统更具复杂性。

3.3 不可预测性分析

Kolmogorov熵是一种度量熵，为有限对象的随机性提供了数学解释[16]。Kolmogorov熵表示使用其先前t次输出轨迹需要多少额外信息去预测第(t+1)次输出。Kolmogorov熵意味着需要额外的信息来预测轨迹，Kolmogorov熵越大表示所需的信息越多。具有正Kolmogorov熵的动力系统被认为是不可预测的，更大的Kolmogorov熵意味着更好的不可预测性。LS、LT、TS映射及其种子映射的Kolmogorov熵，如图6所示。

(a) LS映射及其种子映射的Kolmogorov熵

(b) LT映射及其种子映射的Kolmogorov熵

(c) TS映射及其种子映射的Kolmogorov熵

从图6中可以看出，STBCS生成的新混沌映射，即LS映射、LT映射和TS映射可以在整个参数范围内获得正Kolmogorov熵，并且它们的Kolmogorov熵值远大于它们对应的种子映射的Kolmogorov熵值，这意味着所提出的STBCS可以生成更好的、不可预测的混沌映射，其混沌性能更优。

4 结语

本文提出了一种基于正弦变换的STBCS混沌系统，可作为生成一维混沌映射的一般框架。STBCS混沌系统首先线性加权地组合2个现有混沌映射的输出，然后对组合结果执行正弦变换得到新的混沌系统。为了证明STBCS生成的新混沌映射的有效性，列举出了3个用该方法构造的新混沌映射，通过matlab仿真软件分析了它们的动力学特性。利用分叉图、Lyapunov指数、样本熵和Kolmogorov熵进行性能分析和评估。实验结果表明，基于正弦变换的混沌系统所产生的新的混沌映射在整个区间上出现混沌行为的比例为100%，相较于原有经典的Logistic、Sine、Tent映射出现混沌行为的比例分别提高了89.25%、85%、40%，最大的Lyapunov指数提高了0.5个单位，样本熵和Kolmogorov熵也均有所提高。STBCS生成的新混沌映射比其相应的种子映射产生的混沌映射具有更大的混沌范围、鲁棒性，更好的复杂性和不可预测性。