高中物理教学中引入微积分方法的必要性

2019-01-17王彦芸

教育教学论坛 2019年49期

王彦芸

摘要：文章从高中物理教材的现状，高中学生的数学基础，物理概念与微积分的联系，导数和积分在解决物理问题的方便性等角度论述了微积分应用于高中物理教学的必要性。这对于加深学生对物理概念的理解，开阔学生解决问题的思路，增强运用数学方法解决实际问题的能力都有重要的意义。

关键词：微积分;高中物理教材;数学方法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）49-0198-04

2003年制定的“普通高中物理课程标准”中，强调“在科学探究与学习过程中，应用物理学研究方法、数学工具的能力”[1]。高考的考试能力要求中强调“运用物理规律和数学方法确定物理量之间的定量关系”和“找出物理量之间的关系，利用恰当的数学方法进行分析求解”[2]。但现行的高中物理教材[3]主要讲解物理概念和规律，对解决物理问题所用到的数学方法很少提及。

高中阶段，学生应该采用什么数学方法解决物理问题呢？这取决于高中阶段学生的数学基础。函数概念、基本初等函数、导数及其应用、定积分、空间向量等内容包含在“普通高中数学课程标准”中[4]，也是高中数学教学中要求掌握的知识内容[5]所以高中学生已掌握了较广泛的数学知识和数学方法。遗憾的是这些数学方法没有被有效地利用起来去解决物理问题。

高中物理教材的编写对数学方法的忽视是导致这一现象的首要原因。高中教学中，教师和学生首先要按照课本逐步进行，课堂内容、考试要求、参考书、辅导书都以课本为基础对课本解读。所以，课本对数学方法的忽视，就会导致整个高中教学对数学方法的忽视。高中教师因循守旧、各自为战的教学模式是导致这一现象的另一原因。教师沿袭十几年前的教学模式和题目设置，埋头于本学科教学而不关心数学课程教学内容，竟未发现数学课程已为你准备了更好的工具。

数学方法是物理教育的重要组成部分，物理规律和数学方法本来就是一个整体，二者的教学应当同步进行。目前，高中物理课程中的数学方法明显落后于高中生的数学水平，学生已熟练掌握的函数、导数、定积分等内容，没有应用在物理课程中，建议在以下几个方面做些改进。

一、高中物理教材中应体现函数的概念和应用

函数可以描述事物运动变化的动态过程，是描述变量之间依赖关系的数学模型。相对于刻画静态现象的数，函数更利于描写现实世界中运动变化的动态现象，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。物理量之间的依赖关系是典型的函数关系，在物理教材中应指出这种函数关系，用数学语言明确表达。明确函数关系有助于学生运用初等函数的性質解决和理解物理问题。

例题：人教版必修教材2第76页例题。把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆，摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低位置的速度是多大？

解析：小球的速度随着位置的变化而变化，可建立速度对位置的函数关系，此处位置用角度φ表示，从偏角为θ到偏角为φ的过程中用动能定理知，

，速度v对φ的函数表达式为，定义域为。把φ=0代人可以得到速度的最大值

明确这个函数关系后，可以更深入了解小球运动的动态变化过程。

二、高中物理教材中应体现导数概念和变化率的关系

导数是微积分的核心概念，高中数学课本选修2-2第一章，先讲了平均变化率，又讲了平均变化率的极限——瞬时变化率，最后引出导数的定义，如下图。

既然高中数学中已经明确了导数的定义和意义，我们可以从导数角度定义上述物理量。瞬时速度是位移函数x（t）对时间t的导数，加速度是速度函数v（t）对时间t的导数，感应电动势是磁通量函数φ（t）对时间t的导数。从导数角度给上述物理量的下定义，可以明确看到各物理量数学形式上的一致性，抛开具体的物理情景，发现几个物理量在数学本质上是相同的，都是某个函数对时间的导数，反映了该函数随时间的变化趋势和变化快慢。这样，便于学生从更高层次上理解和掌握概念。

三、从导数角度编写教材，可使简谐运动和交流电等内容更便于理解

1.简谐运动。弹簧振子的简谐运动，是中学物理中最复杂的运动形式，是加速度变化的一种运动形式。学生在分析位移、速度、加速度、回复力、动能、势能的变化规律时，一边分析复杂的运动过程，一边分析物理量的变化，容易出错。若引入导数后，通过导数求出速度和加速度随时间变化的表达式，使物理量的变化一目了然，减小了学习该部分知识的难度。

2.交流电的产生。课本中对交流感应电动势的推导，是通过切割磁感线的公式E=Blvsinθ，对线框速度分解出垂直切割的速度后进行计算，此处的难点在于速度的分解，然后返回到磁通量的变化产生感应电动势。这个过程对学生来说，思路上迂回曲折，难以掌握和理解。如果引入导数，从导数上求解感应电动势，逻辑上就很自然顺畅，降低了学生理解这部分知识的难度。

例题：如下图交变电流产生的原理图，单匝线框面积为S，磁感应强度为B，绕OO'转到的角速度是ω，从右图虚线出开始计时，求磁通量随时间的变化关系，求线框中产生的瞬时感应电动势的大小？分析第一个四分之一周期内磁通量和感应电动势的变化。

解析：经过时间t后，线框转到的角度为ωt，磁通量的大小可以表示为φ（t）=BSsin（ωt），这样就得到了磁通量对时间的函数关系。对磁通量函数求导数得到感应电动势为E=φ′（t）=BSωcos（ωt）。在0— T内，相位ωt从0到变化，所以磁通量φ（t）从0增大到最大，而感应电动势从最大减小到0。

比较两个例题，一个是弹簧振子的运动，一个是交变电流的产生。完全不相干的物理问题，其函数关系和变化规律则是完全相同的正弦函数。这正是数学的抽象之美，不依赖于具体的问题情境，又能体现它们的共同属性。对这些本质属性的认识，加深了学生对交流电产生和简谐振动的理解，深化了物理规律和物理概念的内在联系。

四、对物理课程中最值问题，应充分利用导数方法

导数是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。对学生而言，在数学课上已经熟练掌握了利用导数求极值和最值问题的基本方法。高中物理中涉及很多最大值和最小值问题，如竖直上抛运动的最高点，追及问题中的最小距离，交流电中的感应电动势最大值等问题都可以采用导数方法解决。但实际中，高中课堂和教科书中，并没有充分体现出数学求解方法。

例题：以20m/s从水平地面竖直上抛一个小球，不计空气阻力，求小球何时上升到最高点，上升的最大高度是多少？重力加速度g=10m/s 。

解析：以抛出点为坐标原点，以竖直向上为正方向，建立坐标系。

（1），根据匀变速运动规律，小球的位移对时间的函数为，，其中定义域和值域t>0S（t）>0。

（2），对S（t）求导并令导数为0，有S′（t）=20-10t=0，得到一个极值点，t=2s，S（2）=20m。

（3），t<2s时，S′（t）>0，函数S（t）随t单调增大;t>2s时，S′（t）<0，函数S（t）随t单调减小;所以，当t=2s时，S（t）有极大值。

（4），该唯一极大值点即为最大值点，把t=2s代人到函数S（t），S（2）=20m。即有t=2s时到达最高点，最大高度为20m。

由于高中物理问题情形简单，一般为二次函数或简单三角函数，而且定义域有明确限定，所以一般求出极值点则可以明显看出最值点。对上面的例子，实际上只需要前两个步骤就可以容易的解答出来，如下：（1）建立位移对时间的函数，S（t）（2）对S（t）求导并令导数为0，有S′（t）=20-10t=0，得到t=2s，代人原函数得到最大值S（2）=20m。

五、定积分方法在物理教学中应得到展现

定积分和导数一样，也是微积分中的核心概念。高中数学教材選修2-2不但用了较大篇幅讲解定积分的概念，而且专门讲解了定积分在物理中的应用，如变力做功问题。

例题：如图所示，在弹性限度内，将一弹簧末端从平衡位置拉离l距离，弹簧的倔强系数为k，求拉力所做的功。

解析：拉力F随x的增大而增大，拉力等于弹簧弹力，F（x）=kx，拉力做的功就是力F对位移x的积分，积分区间为（0，l），有

上题中的定积分问题还可以看出弹簧弹性势能的表达形式。同样，对点电荷Q电场中的正电荷q电势能表达式可以通过定积分

得到。因此，从高中物理教学中引入定积分方法，有助于学生对上述问题更深入的理解。

总结：通过上述几个方面的改进，可以改变高中物理教学中的数学方法滞后于高中生数学水平的现状。函数、导数、定积分等高等数学方法在物理课程中的应用，可以帮助学生更深入的理解物理概念，建立物理量之间的内在联系，降低学生分析复杂物理过程的难度，为解决物理最值问题提供系统的数学方法。

致谢：本论文工作得到国家自然科学基金资助，项目名称：芳烃超导体的晶体结构和电子态的理论研究（项目批准号：11474004）。

参考文献：

[1]北京教育考试院.2016年普通高等学校招生全国统一考试北京卷考试说明[M].北京：开明出版社，2015.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中物理课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]人民教育出版社课程教材研究所物理课程研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书（物理）[M].第三版.北京：人民教育出版社，2010.