一组有限维向量的极大无关组的求法

张丽娟

摘要：文章利用向量空间之间的同构关系，将求任意数域F上有限维向量空间中一组向量的极大无关组的问题转化为求  中一组与之对应的向量组的极大无关组的问题.

关键词：极大无关组;同构映射;矩阵的秩;向量空间的基

中图分类号：0151.21     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）49-0194-02

设 为数域F上n维向量空间V中的一组向量，下面将介绍如何求它的一个极大无关组.

一、利用同构映射转化问题，并判断向量组的线性关系

首先，我们总可以找到V的一个基 （此组向量线性无关，且V中每一个向量都可以由这组向量的线性组合唯一的表示），且令其次，由“任一数域F上n維向量空间V都与 同构”可知V与 之间必存在一个同构映射，我们可以根据上面表示的唯一性，依向量和它关于某个基的坐标构造一个同构映射f，则

最后，依据以下定理可将问题转化.

定理1 映射f为数域F上n维向量空间V到F 的一个同构映射，则V中的一组向量 线性关系与 中的一组向量 的线性关系一致.

定理2 一个矩阵的秩等于其列向量构成向量组的秩.

例1 求实数域上3行2列的实矩阵构成向量空间 （R）中一组向量

由上述说明可知，任意n维向量空间中一组向量的线性关系问题都可以转换成这些向量关于此空间中某个基的对应坐标在 中的线性关系，下面将详细讨论 中一组向量的极大无关组的求法.

二、 中一组向量极大无关组的求法

当向量组中有零向量时，我们可以先将此向量组中的所有零向量除去，在剩余的由非零向量构成的向量组中求其极大无关组即为所求.

所以，不妨设 全不是零向量，又由于

定理3 设A= 若A可经过矩阵的行初等变换化为B，则B中 线性无关当且仅当A中相应的 线性无关.

从而可将求向量组 的极大无关组的问题转化为求以此组向量为列的矩阵的变换问题，且当A交换两列时只需将B的相应列进行交换，所以最终我们只需考虑将A通过行初等变换和第一类列初等变换所得矩阵 是r阶的单位矩阵，

本文在求任意有限维向量空间中一组向量的极大无关组时，假设这个向量空间的一个基是已知的，才会有上述做法，而任意有限维的向量空间，从理论上而言其基必是存在的，但它的求法因实际情况而定;除此之外当给出的向量是行向量时

再对A进行行变换和第一类列变换，也可令 进行列初等变换和第一类行变换求解.

参考文献：

[1]刘仲奎，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：272-284.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]张禾瑞，等.高等代数[M].北京：高等教育出版社.