试论化归思想在高中数学教学中的应用

2019-01-16周强锋

中国校外教育 2019年3期

◆周强锋

(湖北省蕲春县第三高级中学)

教师在授课过程中，为了让学生顺利地掌握化归思想，首先要重视基础知识教学，包括数学概念、定理、公式，以及知识的推导、证明过程，只有扎实地掌握基础知识，才能为化归思想的运用奠定良好基础。同时，教师也要注重数学模型的构建和讲解，尤其是对于一些复杂、深奥的数学理论，可通过简单的数学语言将其数学逻辑呈现出来，使学生准确抓住数学理论的内涵和实质，切实将其内化为自己的知识。另外，在构建数学模型的基础上，教师要有意识地引导学生用数学模型来解决不同类型的数学问题，使学生形成独立思考的能力和习惯，这对于学生全面、系统地理解化归思想的数学实质也有很大的帮助。

一、化未知为已知

一般来说，学生对于比较熟悉的问题大都掌握了一定的解题套路，能够快速地得出问题的答案。但面对比较新颖、陌生的题目时往往无从入手，不得其门而入。事实上，很多新题目都是一些老题目经过变形、包装之后的产物，只要学会运用化归思想，就能将其返本还源，然后按照已知问题的解题策略求解即可。美国数学家和教育家波利亚在其所著的《怎样解题》一书中列出了一个解题表，在解决某问题时，先让学生回想与该问题相似的题型的解答策略，这样就能调动学生已有的经验和方法来解答问题，进而发现解题的突破点，这其实就是运用了化未知为已知的解题方法。

例1：(2013全国新课标卷I，理科第16题)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称，则f(x)的最大值为。

解析：该题涉及四次函数，且乍一看比较陌生，需要将函数中的高次整式进行变形处理，转化为我们熟悉的形式。首先，题干给出了函数图像的对称轴，可先根据这一条件求出a、b的值：

因函数f(x)的图像关于直线x=-2对称，故有f(-4)=f(0)，f(-1)=f(-3)，即：

b=-15(16-4a+b) (1)

0=-8(9-3a+b) (2)

联立(1)和(2)，可得a=8，b=15，则：

f(x)=(1-x2)(x2+8x+15)

=(1-x)(1+x)(x+3)(x+5)

=-(x-1)(x+5)(x+1)(x+3)

=-(x2+4x-5)(x2+4x+3)

=-[(x2+4x)-2(x2+4x)-15]

令t=x2+4x，则f(x)=-t2+2t+15，t∈[-4，+∞]

故f(x)在对称轴t=1处有最小值16。

二、化复杂为简单

复杂问题简单化是中学数学中经常使用的一种解题方法，对于乍看起来十分复杂的数学问题，只要细细观察和分析，通常都可以分解转化为几个简单的问题，然后再解答起来就简单得多。这种解题策略在中学数学中的应用范围很广，手段也多种多样，如各类公式的恒等变形、不同图形的初等变换、正向思维的逆向转化等。尤其是逆向思维的运用，不但能够提高学生对知识的理解程度，还能锻炼学生的思维灵活性，对于学生深刻掌握化归思想有很大的帮助。

例2：(2014浙江卷，文科第16题)已知实数a，b，c，满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值为。

解析：这是一道最值求解题，但题目包含的字母参数较多，看起来比较复杂，学生如果以通常的最值求解思路进行解答，很容易迷失方向。实际上，只要把待求最大值的a视为常量，将b和c视为变量，则题目条件就可以转化为其他的形式，如解析几何、方程、函数、三角函数、不等式、平面向量、数列模型等，再解答起来就简单得多，下面仅列举其中一种思路，即将原条件转化为解析几何模型，然后用化圆法求解。