超分辨TOA/TDOA估计算法

高才才 丁 庆 蓝永海

(深圳市华讯方舟微电子科技有限公司 广东 深圳 518101)

0 引言

对于雷达和传感器观测系统而言，当被观测目标处于密集目标环境中或者存在较强的多径效应时，需要较高的距离或者角度分辨率，从而在空间维或者时间维上，分辨相邻的目标或者区分直到信号与多次反射信号。为了估计每个信号源的到达角(Direct of Arrival，DOA)，且提高角度分辨率，研究者在空间维度上，提出了许多基于阵列天线的方法，比如最小方差无失真响应法(Minimum Variance DistortionlessResponse，MVDR)[1]、多信号分类算法(Multiple Signal Classification，MUSIC)[2]以及旋转不变技术信号参数估计法(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，ESPRIT)[3]等。

在时间维度上，对于目标和辐射源定位而言，到达时间(Time of Arrival，TOA)和到达时间差(Time Difference of Arrival，TDOA)是尤其重要的参数。传统的TOA/TDOA估计算法，一般基于匹配滤波或者互相关函数[4]，其距离分辨率与所使用信号的带宽成反比，即可获得的距离分辨率为c/2B，其中，c为自由空间中光传播速度，B为信号带宽。因此，较为直接且有效的增加距离分辨率的方法是增加TOA/TDOA估计中所使用的信号的带宽。但是，在某些频段，频谱相对比较拥挤，很大一部分频段已分配给其他应用，可使用的连续频段受到一定的限制。另外，无源定位系统中，接收到的源于辐射源的信号一般不可知，且其带宽是不可控的。

类似于角度超分辨算法，为了突破信号带宽对距离分辨率的限制，已有学者提出了一些超分辨的TOA/TDOA估计算法。比如：自适应正则最小二乘法(Adaptive Regularization Least Squares，ARLS)[5-6]、逆滤波器法(Inverse Filter，IF)[7-8]、迭代自适应算法(Iterative Adaptive Approach，IAA)[9-10]、基于互相关函数的MUSIC算法(MUSIC using Cross-Correlation，MUSIC-CC)[11]以及基于信道响应的MUSIC算法(MUSICbased on Channel Response，MUSIC-CR)[12]等。在一定条件下，以上算法可得到的距离分辨率均可以突破c/2B的限制；且某些算法，比如MUSIC-CC，不需要已知发射信号的类型和参数。但是，没有相关文献对以上算法进行完整且详细地归纳总结以及性能对比。本文中，我们首先对上述提及的算法进行了简要的原理介绍，然后利用多种指标比较其性能，包括分辨率、估计精度、信噪比(Signal-to-Noise-Ratio，SNR)需求以及计算量等。性能对比中使用的数据既包括了仿真数据，也包括了通过软件无线电平台(Universal Software Radio Peripheral，USRP)发射和接收到的实测数据。

本文组织结构如下：第一章回顾了多种距离超分辨算法的基本原理和处理流程；第二章和第三章分别通过仿真数据和实验数据，比较和分析了以上提到算法的性能；最后对全文进行了总结。

1 距离超分辨算法

假设发射信号为x(t)，则多目标或者多径环境中的接收信号可以用如下公式表示：

(1)

其中，K表示目标或者信号传播路径的数量，ak和τk分别表示每路回波信号对应的幅度以及时延，n(t)表示高斯白噪声。传统算法中，通过发射信号和接收信号的互相关函数即可以估计TOA,公式如下：

(2)

距离超分辨算法中，公式(1)可以改写为如下矩阵形式：

y=Ah+n

(3)

(4)

距离估计算法，转换为通过估计信道响应矢量h，来获得TOA的估计，且基于特定的处理算法提高估计值的分辨率和精度。

1.1 自适应正则最小二乘法(ARLS)

在高斯白噪声的假设下，且如果AHA可逆，公式(2)的最小二乘解可以表示为：

(5)

(6)

其中，α是尺度参数，W为矢量w表示的对角矩阵。正则化后的二乘解为：

hi=(AHA+αWi)-1AHy

(7)

该算法实质上是自适应的对角加载，且加载量是通过迭代算法得到的。矢量wi可以通过如下公式得到：

(8)

其中，I为全1的向量，⊙表示点乘，γ和η为影响到算法收敛速度的参数。仅使用一个脉冲就可以估计出信道响应，但是可以通过多个脉冲的积累来提高信噪比，且积累后的信道响应可以表示为：

(9)

其中，L表示积累脉冲的个数，hl表示基于单个脉冲估计得到的信道响应。

1.2 逆滤波器法(IF)

不同于公式(2)中的矩阵乘积形式，接收信号也可以通过信号卷积的形式表示：

y(t)=x(t)·h(t)+n(t)

(10)

其中，h(t)为信道响应的时域表示，且可以通过冲击响应表示[7]：

(11)

其中，bk=|ak[ejθk表示第k路信号的幅度和相位。假设Y(ω)和X(ω)分别表示接收信号和发射信号的频域表示，即y(t)和x(t)的傅里叶变换，可以得到如下公式：

(12)

因此，信道响应的估计可以表示为：

(13)

其中，IFFT[·]表示傅里叶反变换。和自适应正则最小二乘法类似，IF算法也可以通过积累增加信噪比。

1.3 迭代自适应算法(IAA)

(14)

hi=[hi(1),hi(2),…,hi(M)]T

(15)

(16)

其中，A(:,m)表示公式(3)中矩阵A的第m列，diag(·)表示由对应矢量构成的对角矩阵。迭代算法的初始值可以由如下公式计算得到：

(17)

公式(16)需要进行矩阵求逆操作，为了避免出现奇异或者病态矩阵，需要进行对角加载处理。

1.4 基于互相关的MUSIC算法(MUSIC-CC)

该算法是基于原应用于角度超分辨的MUSIC算法的，其问题转换为如何获得协方差矩阵，即：

(18)

其中，Rl表示由每个脉冲估计得到的协方差矩阵，且可以表示为[10]：

(19)

XA=X⊙Y*

(20)

其中，(·)*表示复共轭。X和Y分别表示发射信号和接收信号傅里叶变换的采样，即X(ω)和Y(ω)的采样。需要注意的是，仅获取了信号频带内的采样。信号源的个数可以通过最小描述长度法(Minimum Description Length，MDL)估计。协方差矩阵的特征值分解可以表示为：

Rl=VΛsVH+UΛnUH

(21)

其中，Λs和Λn分别表示信号和噪声对应的特征值矩阵，V和U分别表示信号和噪声对应的特征向量矩阵。MUSIC-CC算法得到的虚拟谱为：

(22)

其中，Γ(τ)为如下公式定义的向量：

(23)

其中，Δf表示两个连续采样点之间的频率间隔，Np表示XA的采样点数。虚拟谱是时延τ的函数，可以通过谱上峰值的位置估计出信号对应的TOA。

1.5 基于信道响应的MUSIC算法(MUSIC-CR)

基于信道响应的MUSIC算法与前面提到的基于互相关函数的MUSIC算法类似，区别在于计算协方差矩阵的方式。和IF算法类似，信道响应是由频域的发射信号和接收信号估计得到的[11]：

Ψ=Y/X=[ψ1,ψ2,…,ψNp]T

(24)

初步协方差矩阵定义为：

(25)

(26)

为了改善协方差矩阵，可使用如下矩阵平滑技术：

(27)

其中，J是Nq×Nq的交换矩阵，即：

(28)

参照公式(21)计算虚拟谱，但是区别于MUSIC-CC算法，矢量Γ(τ)按照如下公式得到：

Γ(τ)=[1,e-j2πΔfτ,…,e-j2πΔfτ(Np-1)]

(29)

2 仿真数据比较

本章通过仿真数据，对以上提到的五种距离超分辨算法的性能进行对比。首先比较ARLS、IF和IAA算法。仿真中使用的信号是带宽为5MHz，脉宽为100μs的线性调频信号，且脉冲积累数为500，采样率为20MS/s。假设有两个来自于不同路径的回波到达接收机，且两路回波信号的到达时间差为100ns，即在当前采样率假设条件下为2个采样点。

将带内信噪比依次设置为20dB，10dB和0dB，图1(a)，图1(b)和图1(c)给出了传统互相关算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能对比。由于信号带宽为5MHz，传统互相关算法可以获得的时间分辨率为200ns，因此互相关算法输出曲线上只有一个明显的峰值。当SNR设置为20dB时，ARLS、IF和IAA算法具有相似的结果；输出曲线上可以发现两个明显的峰值，且峰值的间距为2个采样点，分别对应于两路回波信号。当SNR由20dB下降为10dB时，ARLS和IAA算法的性能基本维持不变，但是IF算法的旁瓣上升比较明显。当SNR下降为0dB时，只有IAA算法仍然维持较好的性能；IF算法虽然可以检测出两个峰值，但是其旁瓣电平比较高，将会导致弱小目标无法检测。

为了更好地展示算法的分辨率和估计精度，将原始的发射信号和接收信号进行升采样，升采样系数为5，即等效的采样率为100MS/s。将带内信噪比设置为20dB，图2给出了传统互相关算法、ARLS算法、IF算法和IAA算法的性能对比。IAA算法具有最高的分辨率和最低的旁瓣电平；ARLS算法和IF算法具有相近的分辨率。相较于图1(a)，使用升采样信号的IF算法具有更高的旁瓣电平，这是因为IF算法对信号质量较为敏感。使用ARLS、IF和IAA算法估计得到的TDOA分别为110ns、105ns和100ns，IAA算法具有最高的估计精度。

接下来比较两种MUSIC算法的性能。将带内信噪比分别设置为20dB和0dB，图3(a)和图3(b)给出了传统互相关算法、IAA算法、MUSIC-CC算法和MUSIC-CR算法的性能对比。需要注意的是，MUSIC算法的搜索间隔设置为10ns，即采样点之间的间隔是10ns；为了获得相同的采样间隔，互相关算法和IAA算法中使用的信号的等效采样率为100MS/s。由图可见，IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的分辨率远高于传统互相关算法。IAA和MUSIC-CR算法具有类似的分辨率，且高于MUSIC-CC算法。当信噪比从20dB下降到0dB时，MUSIC-CR算法的分辨率基本维持不变，但是MUSIC-CC算法的分辨率出现了较为明显的下降。

将两路回波信号之间的TDOA设置为50ns，SNR设置为20dB，图4给出了传统互相关算法、IAA、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法的性能对比。MUSIC-CR和IAA算法可得到两个明显峰值，且峰值间凹口低于0.15(16dB)；MUSIC-CC算法的凹口较浅，只有3dB。

最后比较算法的计算量。ARLS和IAA算法直接使用了回波的时域信号。一般来说，信号的时域采样点数较多，公式(6)、(13)和(15)中矩阵的尺寸较大；另外，需要进行矩阵求逆，导致算法计算量较大。IF、MUSIC-CC和MUSIC-CR算法使用的是回波的频域信号，且仅使用了信号频段内的采样点，因此计算量得到了明显的下降。由于MUSIC-CR中使用了矩阵平滑技术，导致其计算量略微高于MUSIC-CC算法。

3 实验数据比较

实验中，使用NI的USRP-2953R发射和接收信号。同一台USRP的发射端口与接收端口是完全时间同步以及频率同步的。由于自然空间中，信号传播路径不可控，实验中利用不同长度的传输线来构造不同时延的回波信号，图5给出了实验配置示意图。USRP的发射端连接到功分器的输入端，功分器的两个输出端分别通过不同长度的线缆连接到合成器的两个输入端，合成器的输出端连接到USRP的接收端。图5中功分器和合成器之间的实现和虚线即表示两条不同长度的线缆。

发射信号是线性调频脉冲串，其信号带宽为5MHz，脉宽为100μs，脉冲积累数为500。发射端口和接收端口的采样率均设置为20MS/s。采用两种不同实验配置：

1)配置一：线缆长度差为25m；

2)配置二：线缆长度差为10m。

区别于自由空间，电磁波在线缆中的传播速度不是3×108m/s，而是存在一定程度的衰减；根据厂商提供的资料，本实验中线缆的速度衰减为27%。因此，可以计算出配置一和配置二条件下，两路回波信号的到达时间差分别是115ns和45ns。为了更好地模拟真实环境，在数据处理之前，接收机收到的信号额外叠加了高斯白噪声，且信噪比设置为20dB。

图6给出了不同配置条件下互相关算法、IAA算法和MUSIC-CR算法的性能对比。配置一中，25m线缆导致的信号幅度的衰减大概是20dB，即后抵达接收机的回波信号的幅度比早到回波的幅度低了约20dB。使用IAA算法时，虽然仍然可以探测到两个峰值，但是对应于第二路回波信号的峰值并不明显；使用MUSIC-CR算法时，可以检测出两个明显的峰值，虚拟谱中峰值的幅度与信号的强度没有明显的关系。配置二中，IAA算法和MUSIC-CR算法仍然可以将两路到达时间差为45ns的信号分开，即当前SNR条件下，分辨率达到了传统互相关算法(5MHz带宽对应的时间分辨率是200ns)的四倍以上。

不同配置条件下，使用IAA算法时，估计得到的到达时间差分别为120ns和50ns；使用MUSIC-CR算法时，估计得到的TDOA分别为130ns和60ns。IAA算法具有更高的估计精度，而MUSIC-CR算法的估计误差较大。这是因为，MUSIC-CR算法的输入是信道响应的估计值；该算法中信道响应是直接由接收信号和发射信号傅里叶变换的比值估计得到的，因此，信道响应估计的准确度对信号质量有较高的要求。虽然实验中发射端和接收端是直接通过线缆连接的，但是由于USRP硬件本身的限制，比如IQ通道不平衡等，接收信号仍然存在一定程度上的失真。

表1 性能对比

算法分辨率估计精度SNR需求计算量ARLS低低中高IF低中高低IAA高高低高MUSIC-CC中高中低MUSIC-CR高中低中

4 结束语

本文对多种距离/时间超分辨算法进行了比较和分析，主要包括了自适应正则最小二乘法、逆滤波器法、迭代自适应算法、基于互相关的MUSIC算法以及基于信道响应的MUSIC算法。通过仿真数据和NI-USRP获得的实验数据验证了各种算法的性能。表1从不同的指标角度，详细地比较了上述提到的算法，包括了分辨率、估计精度、信噪比需求和计算量。可见，所有的算法都是优缺点并存的。总的来说，自适应正则最小二乘法和逆滤波器法的分辨率和估计精度相对较低；迭代自适应算法和基于信道响应的MUSIC算法具有最高的分辨率和最低的信噪比需求；迭代自适应算法和基于互相关的MUSIC算法具有最高的估计精度，但是前者的计算量较大。另外，距离/时间超分辨算法对信号较为敏感，其算法性能需要自由空间信号的进一步验证。