用“模型思维”方法进行高考物理选考复习的研究与实践

□王超良

（浙江省义乌中学，浙江义乌 322000）

“学考+选考”的新高考改革方案已进行了两年，这次课程改革的主要目的是为了增加学生的选择性，实现个性化的发展.但是，由于考试时间大大提前，考试内容也增加了不少，每周实际授课的课时数也没有增加，而关键性试题在难度和灵活度方面的要求却没有下降，从而导致了学生参加第一次“学考”和第一次“选考”前的“必修内容”与“选修内容”的新课学习中任务重、时间紧，只能以快马加鞭的教学节奏赶鸭子上架.而学生在参加第一次“高考选考”后的学习中，因学习时间的相对宽余，出现了一轮又一轮的几乎重复教学的现象，由于学生在新课教学中经历的几乎是一种无根基的学习体验，学习的过程匆匆而过，学生头脑中无法在有条不紊的学习中经历物理知识的发生、发展和变化的过程，学习的节奏与学生真实的学习节律并不和谐，致使整个教学过程效率低下，根本无法进入高效学习的境界.

那么，应如何解决这个问题呢？显然，只有从物理学科的特点和学生学习的实际情况出发考虑问题，才能找到学习物理的最有效的教学路径.

我们知道，在物理学习中，求解物理习题，是学生理论联系实际的一个重要方面，物理习题总是命题者依据某个物理模型，设计必要的物理情境，给出已知量、隐含量，进而提出需要求解的问题的过程中编制而成的.因此，解决物理问题的过程，实际上就是还原命题者设置的物理模型的过程[1].抓住了“模型思维”这个牛鼻子，就把握了问题的实质.

那么，什么是“模型思维”？在物理教学中，应如何培养学生“模型思维”的意识，切实帮助学生提高模型的识别能力、迁移能力和应用模型解决问题的能力呢？

一、“模型思维”的特点

（一）“模型思维”的提出

我们知道，为了研究物理问题的方便，往往通过抽象思维或形象思维，运用理想化、简化和类比等方法，建立起描述某一物理问题的模型，物理问题就是依据一定的物理模型进行构思、设计而成的.我们也知道，联想是运用已有的知识和经验从一事物想到另一事物、从一现象想到另一现象、从一模型想到另一模型、从一规律想到另一规律的心理活动.通过联想，容易找到事物间的联系，迅速找到解决问题的途径.因此，所谓的“模型思维”就是以一些已知的基本物理模型为思维元素，并借助它们进行思维，从而迅速把握解决物理问题方向的思维方法[2].

（二）“模型思维”的优点

1.具有“化繁为简”的魔力

在高中物理中，通常可以将各种形形色色的物理问题归结为若干个典型的模型，并把解决问题的过程归结为几个关键的步骤.首先，抓模型.找出问题的特征和与之对应的特定条件.其次，套模型.套用符合问题特征的模型.最后，出结果.抓住模型思维的特点和路径，快速求得问题的结果[3].

2.能够快速把握解决问题的方向，达到举一反三、触类旁通的效果

模型思维法源于大量同类题目相似解法的提炼，是“类型题”的灵魂，掌握一个模型就相当于掌握了千万道同类型题，达到化腐朽为神奇的功效.

3.可以大大缩短解题的时间，有效地提高解题的准确率

对用常规解法复杂多变、往往难以把握的问题，运用“模型思维法”可以一举破解“运算量大”、“陷阱多”的困惑，只要符合模型的基本特征，就能有序、快速有效地进行突破.

二、几种典型的物理模型

分析各种类型的高中物理题后可以发现，就所涉及的知识与方法进行系统化、模块化归总后，主要可以归结为以下几类物理模型.

力的平衡类模型，匀变速直线运动类模型，运动的合成与分解类模型（渡河、拉船及抛体运动等），力与运动的关系类模型（包括动量定理所涉及的动力学问题），圆周运动类模型（包括带电粒子在电磁场中的运动类问题），能量转化类模型（包括光电效应现象），机械振动类模型（单摆、弹簧振子的简谐运动），波动类模型（包括波的干涉和光的干涉），传送带模型，子弹打木块类模型，电路的动态变化类模型，楞次定律类模型，电磁感应中最终稳态类模型，玻尔模型，光的传播类模型.

三、运用“模型思维”解决问题的基础

（一）拥有“模型思维”必须的知识与技能

拥有比较系统的知识结构，对物理学的基本概念与基本规律有比较深刻的理解，能熟练地通过受力分析与运动分析的方法快速地展示清楚物理情境，熟练地掌握分析物理问题的基本方法，须具有规范化的分析和表达物理问题的能力.

（二）注重模型的识别、构建与拓展

努力帮助学生形成独立思考问题的习惯，树立“模型思维”的意识，增强“建模、悟模与识模”的能力.

四、几条运用“模型思维”解决问题的路径

努力培养学生对模型的识别能力、迁移能力与重建能力，理解模型在物理学习中的价值，为迅速解决问题提供有力的保障.

（一）运用联想类比的方法，快速进行突破

案例1如图1所示，在xOy平面内，有一电子源持续不断地沿x轴正方向每秒发射出N个速率均为v的电子，形成宽为2b、在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流.电子流沿x轴正方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直xOy平面向里，电子经过磁场偏转后均从P点射出.在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A，其中K板与P点的距离为d，中间开有宽度为d=2l且关于y轴对称的小孔.K板接地，A与K两板间加有正负、大小均可调的电压UAK.穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出，从而形成电流.已知，电子质量为m、电荷量为e，忽略电子间的相互作用.

图1

（1）求磁感应强度B的大小；

（2）求电子流从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围；

（3）当UAK=0时，每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数；

（4）画出电流i随UAK变化的关系曲线（画在答题纸的方格纸上）.

分析：抓住粒子运动中力与运动的关系，从“模型思维”的角度来看，速率均为v的电子束平行于x轴进入磁场后的运动，是一个“磁聚焦问题”——平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行.所以，电子束中的所有电子最终都将沿不同的方向从P点射出；在P点射出、但未进入金属板K前的所有电子将沿各自射出的方向作“匀速直线运动”；能够进入平行金属板K、A间的电子以各自的入射角作“类抛体运动”；对于进入平行板电场中运动的电子，在第⑷问中，还设计了一个类似于爱因斯坦得出光电效应方程的“解释光电效应现象的模型”.

解析：（1）由题意可知，这是一个磁聚焦问题，粒子作圆运动的轨道半径r=R，由牛顿第二定律知：

（2）由图2及几何关系可知，最上端的电子进入磁场后从P点射出时，其速度方向与负y轴所成最大夹角θm，满足下式：

图2

2R=2b+2[2R-(R+Rsinθm)]，

同理可知：最下端的电子进入磁场后从P点射出时，其速度方向与负y轴的最大夹角也是60°.故电子流从P点射出时，其速度方向与负y轴方向的夹角θ的范围为：-60°≤θ≤60°.

（3）能够到达A板的电子射出P点后的运动范围如图3所示，由图中的几何关系可知：

图3

运用问题（2）中的结论可得：

设每秒进入两极板间的电子数为n，则：

（4）电子进入平行板电场中，设遏止电压为Ue，由动能定理得：eUe=

由电子在电场中的运动情况可知，当电子沿与负y轴成45°角方向进入电场后，其运动轨迹刚好与A板相切，其逆过程是类平抛运动.设达到饱和电流所需要的最小反向电压为U′.对这样运动的电子，在这个过程中，由动能定理得：

根据（3）中结论可得：饱和电流大小为imax=0.82Ne.

综上，可画出电流i随UAK变化的关系曲线如图4所示.

图4

评析：

（1）在分析物理问题时，一定要努力培养学生的模型意识，善于运用“模型思维”的方法进行审题，运用“模型思维”的语言进行情境表述，运用“模型思维”的方式进行规范化答题.

（2）要适时地引导学生改变审题、解题时的语言系统，善于用“模型思维”的形态进行思考与表述.

（二）通过画草图的方式，展示清楚物理情境

案例2如图5所示，在0≤x≤a、0≤y≤a/2范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范围内.已知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a/2到a之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一.求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：

图5

(1)速度的大小；

(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦.

分析：本题中，抓住力与运动的关系，从“模型思维”的角度来看，从处于O点的粒子源上沿不同方向射入磁场的带电粒子都在作匀速圆周运动.问题的关键在于确定所有的这些带电粒子中，到底沿哪个方向射入磁场的粒子将最后离开磁场.因此，就有必要用画草图的方法来展示清楚各个带电粒子运动的物理情境.本题给定的情形是粒子运动的轨道半径r大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O，入射点O到任一圆心的距离均为r，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O为圆心、r为半径的圆周上，如图6（a）.考虑到粒子是向右偏转的，我们从最左边的轨迹圆画起，取“圆心圆”上不同点为圆心、以r为半径作出一系列圆，如图6（b）所示.其中，轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°)，弦长越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间越长，可见轨迹①对应的圆心角为90°.

图6

解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的轨道半径为R，根据牛顿第二定律得：

图7

设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得：

解得：R=

评析：由于作图不仔细而把握不住“轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°)，弦越长，圆心角越大，粒子在磁场中运动时间就越长”，从而误认为轨迹②所对应的粒子在磁场中运动时间最长.这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图.

在本题的求解过程中，通过“模型思维”的方式，清楚明白地展示了物理情境，揭示了临界状态，明确了所有粒子的运动情况，从而快速地把握了解题的方向，为顺利解题奠定了坚实的基础.

（三）运用分析比对的方法，快速把握解题的方向

案例3如图8所示，圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场B，A为磁场边界上的一点，有大量完全相同的带电粒子沿纸面内向各个方向以相同的速率v通过A点进入磁场，最后这些粒子都从圆弧AB上射出磁场区域，AB圆弧的弧长是圆O周长的，不计粒子之间的相互作用，粒子的质量为m、电量为q.求：

图8

（1）圆形磁场区域的半径R；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间；

（3）用斜线描出粒子所能到达的圆形磁场区域内的面积（需用尺规作图）；

（4）若把磁场撤去，加平行于纸面的场强为E的匀强电场，发现所有从A点射入的粒子，从B点离开时动能最大，求最大动能.

分析：解题中，审题是基础，审题中的圈圈点点、细读慢看，都会给我们带来丝丝光亮.在运用“模型思维法”处理物理问题时更应如此.在本题中，当“大量完全相同的带电粒子沿纸面内向各个方向以相同的速率v通过A点进入磁场”时，其运动的模型显然是“匀速圆周运动”，问题是为什么“最后这些粒子都从圆弧AB上射出磁场区域”？由题意可知，这些圆的半径应该是相同的，这就需解题者抓住一个圆，以A点为中心，通过旋转这个圆的方法，来体会“最后这些粒子都从圆弧AB上射出磁场区域”的含意，并对旋转圆旋转过程中的情形进行细心的比对中，找到符合要求的问题情境，从而求得问题的解决.

解析：（1）当轨道半径小于或等于圆形磁场区域半径时，粒子射出圆形磁场的位置离入射点A的最远距离为圆轨迹的直径.如图9所示，当粒子从圆周射出磁场时，粒子在磁场中运动的轨道直径为，粒子都从圆弧之间射出.

图9

图10

联立解得：R=

（2）带电粒子在磁场中运动的半径不变，速率不变，弧长越长，时间越长.所以，粒子在磁场中运动时如图10所示的轨迹1所对应的时间最长.

（3）以A点为圆心、AB为半径画圆弧，交圆弧1于D点、交圆弧2于B点，粒子所能到达的圆形磁场区域内的面积为图10中阴影部分的面积.

（4）把磁场撤去，加平行于纸面的场强为E的匀强电场，所有从A点射入的粒子，从B点离开时动能最大，说明从A到B电场力做功最多，即电场线的方向沿OB方向.由动能定理得：

代入数据得：EKm=

评析：由于审题不仔细，对所有粒子运动的物理情境的揭示不够充分，对第⑷小题，相当一部分学生认为匀强电场的场强方向应沿AB方向.

其实，能满足这个条件的电场，圆弧上B点的切线方向应该在该电场的一条等势线上.可见，善于运用“模型思维”的方式，通过画草图展示清楚物理情境的方法，是快速准确地突破思维陷阱的有效途径之一.

显然，在分析解决物理问题时，运用“模型思维”的方式进行分析突破的方法是很多的，这是一种非常智慧的方法，非常值得我们去研究与把握.

模型是智慧的结晶，模型也是打开未知世界的钥匙.只要学生积累了足够的基本模型，掌握了分析处理问题的基本方法，就可以从基本的物理模型出发，对物理试题进行物理模型的拆解，从而将复杂问题简单化，既可消除对物理学习的畏难情绪，还可以在将基本模型进行重新组合的基础上，设计出新的问题，使学生对物理知识融会贯通，从而激发出无限的智慧和力量 .