基于“问题链”的数学深度学习研究

□蒋安娜 唐恒钧 徐元根

（浙江师范大学教师教育学院，浙江金华 321004）

深度学习的研究方兴未艾，国内外学者对其内涵、实践模式均有广泛探讨与实施，并取得一系列实证研究成果.在数学教学中，问题链能为数学深度学习的开展提供载体.

一、以问题链为抓手的深度学习理念

（一）深度学习的内涵与实践

深度学习是一种基于高阶思维发展的理解性学习[1].针对数学学科而言，数学深度学习是一个立体化的过程，相对于机械式的浅层学习，关键在于如何在数学深度学习过程中渗透“深度”的思想.这种深度表现在以下方面：首先，从知识角度出发，“深度”指向用全面的、联系的眼光处理数学知识，体现为知识的广度、深度和关联度.其次，从学习角度出发，“深度”指向学习者在学习过程中的充分参与和积极建构，从而有效迁移运用，体现为学生的参与度.最后，从教学角度出发，“深度”指向“数学深度教学”的落实，通过设计以数学学科为载体的教学，综合数学知识的整体连贯性，让学生在问题情境中自主探究，形成数学的高阶思维能力.

（二）以问题链为抓手的数学课堂设计模式

数学以其研究对象的抽象性这一重要特征著称.若是外部只提供学习目标与探究内容，不加以引导，学生以其自身的知识体系以及思维经验无法有效架构出数学的知识大厦，更谈不上思维层面的深入学习.换言之，针对数学学科而言，学生通过精心设计的数学课堂能够更加高效地实现深度学习.于是，如何在关注数学本质的基础之上，设计严谨而又不失自由的数学深度学习课堂值得探索.

朱德全对教学本质的哲学思考后曾指出，“问题是教师教学的心脏，是学生学习的心脏”，并且强调“问题解决指向人的发展”[2]，这与深度学习促进学生高阶思维发展的理念不谋而合.因此在课堂教学中以问题链为抓手，设计层层递进的问题链引导学生探究思考，这是一种层进式、沉浸式的逐渐深入的学习展开过程.这种教学模式一方面为学生提供思考的问题，在内容上可以引导学生获得较为深入的数学学习.另一方面，问题与问题之间的跨度为学生多样的思维与探索提供了可能性.应当注意的是，在问题链设计的过程中，需要在深刻把握学情、理解教材的基础上，整体剖析一组知识群，注重站在数学方法论角度关注数学知识网络的广度、深度、关联度，确定学生发展的整体目标，找寻教学联结点，设计主干问题，构建并呈现主干问题链，从而促进学生高阶思维能力的发展.

二、以问题链为抓手的深度学习课堂

以“平面向量及应用”第一节内容“平面向量的实际背景及基本概念”的研究过程为例，深入分析以问题链为抓手的数学深度学习课堂设计.

该内容是“平面向量及其运用”的概念起始课.目前的数学概念教学中存在一味地淡化处理数学概念，以致概念理解过程中产生“滑过现象”的问题[3].因此本节向量概念课，重要的不仅是向量的形式化定义及几个相关概念的理解，还要能让学生去体会向量的实际背景.即向量理论所具有的深刻的数学内涵和丰富的物理背景以及向量作为知识间的交汇点所具有的应用价值.在本节课带有探究“本源”性质的学习过程中，引导学生认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而使其高阶数学思维能力得以发展.因此可以将学生发展整体目标表述如下：理解向量的形式化定义及相关概念，获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，体会用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径.

（一）教学联结点的确定

在理解教学内容、把握整体目标的基础之上，细化所确定的教学联结点.即从知识内容、思想方法的角度寻找该内容主题与其他主题的关联.

从知识内容上看，高一学生在物理学中已学过力、位移、速度等既有方向又有大小的矢量，并会用有向线段表示力；在几何中已学会有向线段及其长度，直线（段）的平行和共线；在代数方面，学生经历过实数的形成过程：从一束花、一群人中抽象出数的概念，并且理解实数域中0，1等特殊对象.从思想方法上看，高一学生在思维方式上具备初步化归思想，体会到由未知到已知、由难到易、由繁到简以及从一般到特殊；而在数学发现的方法上，学生能应用类比、归纳的方法，在探究过程中能进行猜测并具备论证猜想的意识.此外还会用一些常用的抽象方法，如等置抽象（例如能从一群人抽象出“1”的数量概念）、理想化抽象（例如将车辆行驶道路抽象出直线这一几何概念）等.

综合上述分析，整理出该“平面向量概念”的教学联结点（见图1）.

图1

教学联结点的确立将有助于学生从已有知识经验出发自然生成新知识，并在知识点间建立起广泛的联系.而接下来便需要思考该主题学习过程中需要解决的核心问题及其顺序.该节内容概念较多，因此在向量概念与表示方法的学习环节之后，便从向量两大特征——长度与方向这两条主线出发依次探究，先后串起单位向量、零向量、相反向量、平行向量等新概念，以便于学生构建起系统的知识网络，并避免新概念的随意铺陈造成概念不清、细节把握不到位等问题（见图2）.

图2

（二）问题链的设计

问题1（向量概念的形成及表示方法）：如图3所示，两片树叶A，C同时从树上落入河中，经过一定的时间后分别漂到了B和D点.请问这两片树叶在这段时间的漂流有什么样的共性？你如何表示这两片树叶的漂流运动？

图3

通过问题1，学生在以物理中关于位移的学习基础上，归纳总结出：尽管两片树叶漂流的起点不同，但漂流的方向和距离是一样的，并可以用有向线段加以表示.由此教师从“位移”概念基础上进一步抽象出“向量”这一数学概念：只研究大小和方向，而不研究起点，并指导学生用有向线段、符号等多种表征方式表示向量.

问题2（建立向量研究框架）：类比是数学研究与学习中非常重要的思路，它能为新的研究问题提供思考框架.向量是一个新学习的量.请你回忆一下，以前学习过哪些量？学习那些量的时候，包括了哪些方面？你觉得向量的学习应该包括哪些方面？

问题2试图为学生建立起思考、探索新问题的框架.具体地，希望学生类比“数”概念学习时所涉及的方面，为向量的学习建立起一个整体性的框架与脉络，理解向量的学习要包括向量意义的理解、向量表示方法、向量的比较以及运算等内容，同时想到特殊的量（向量大小、方向特殊的量）以及多个量之间特殊的关系（向量的大小相等、方向相同或相反等）又是数学研究时经常会探索的问题.

问题3（向量的模及特殊大小的向量）：在厘清了上述学习内容之后，让我们从简单的情况开始.既然向量既有方向，又有大小，那就让我们先来研究大小的问题.向量的大小是指什么？怎么来刻画向量的大小？0和1是两个非常重要而特殊的整数，向量中也存在这样特殊而重要的向量吗？

问题3是在学生明确了向量研究的基本内容后，从向量概念中的第一个元素（大小）入手加以研究，使一个复杂的数学对象得以分解.在这一问题的探究中，学生经历向量大小的刻画方法的模型建构过程，使“向量的模”这一概念的形成变得更为自然.紧接着，从向量大小这一角度探索并理解两个特殊的向量：零向量以及单位向量.

问题4（相等向量、相反向量）：a和b是两个单位向量，请问这两个向量的方向间有哪些可能的关系？两个模相同的向量也存在这些关系吗？

问题4让学生探索两个单位向量方向间存在的三种可能关系：方向相同、方向相反、方向既不相同也不相反.这种探索一方面是为了学生进一步理解向量相对于矢量而具有的可平移性，也为未来两个向量间夹角的学习埋下伏笔，另一方面也是本节课更重要的目的在于引出相等向量、相反向量的概念，并通过一般化的推广学习这两个概念.

问题5（平行向量、共线向量）：刚才我们是在限定两个向量模相同的前提下对方向进行分类讨论的，接下去把这个前提条件去掉.请思考当两个向量方向相同或相反，这两个向量在平面上会是怎么样的位置关系？

问题5试图让学生通过作图的形式提出平行、共线等表示向量关系的名词，进一步理解向量的可平移性，同时完善知识结构.

问题6（学以致用）：如图4，设O是正六边形ABCDEF的中心，试说明图中各向量间的关系.

图4

问题7（回顾小结）：回顾今天向量的学习，我们是从哪几个方面着手研究的？是如何研究的？你觉得接下来我们可以研究向量的哪些方面？

问题6和7是对本节课所学内容的应用及回顾，尤其重视对学习新的量时的基本框架以及方法的回顾，这将为数学学习提供脉络.

三、基于问题链的数学深度学习的关注点

整个问题链的设计分为七部分，逐一渗透知识、学习、教学等角度的“深度”指向特征.关注知识的广度、深度、关联度，适当“留白”，善用“先行组织者”，引导学生主动探究、类比迁移，从而有力促进学生深度学习.

（一）关注知识多维度展开，把握知识本质

数学深度学习需要全面而深刻地处理好数学知识的广度、深度和关联度三个方面.主干问题涵盖了本节课所有的向量知识点，并且主干问题的设计细化了知识广度，为学生搭建起思维递升的阶梯，而小知识点之间的组合分类使得概念学习做到细而不碎.知识的深度并不等同于知识的“难度”，简单的知识点通过挖掘也能达到一定的深度.比如向量概念两大基本特征是比较简单易懂的知识点，可以直接给出概念.但需要合理选用素材，从而丰富向量的实际背景，进而有效而自然地辨析概念的内涵与外延.问题1精心选择位移这一学生熟知的物理学矢量，巧妙地引导学生对既有大小又有方向的实例进行数学抽象.而需要重视的是，向量不研究起点，是个“自由之身”，这是对位移概念的进一步抽象.这也是部分学生在向量概念学习时容易误解的地方.尤其是一些教师在教学中常一味强调学科间的横向联系，从位移、力、速度等物理学矢量中类比抽象出向量概念，而缺乏更进一步的辨析.例如力的三要素为大小、方向、作用点，是无法平移的.因此从多个维度理解知识的前提是把握住知识本质.在对知识深刻剖析后，从知识关联角度出发，以学生的前概念为基础进行问题设计，去伪存真，同时联系学生所熟悉的日常经验，这都将有助于提高深度教学的效果.

（二）主动探究，适当“留白”

在深度学习过程中，经历探究过程使学生得到深层次的情感体验，也能帮助学生更高效地建构知识体系，掌握解决问题的方法.如问题3、问题4、问题5为典型的探究性子问题.教学中不是先给出单位向量、零向量、平行向量、相等向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的形成过程，逐渐掌握从特殊到一般的数学研究思路.但作为知识“传播者”角色的教师却并不能消失.他们可以帮助学生更好地、更有效地领会知识“生产者”的心路历程，从而达到高效地发展智能的目的[4].因此教师于问题2中先对研究思路和知识脉络进行整体梳理，使学生对新事物的规律的研究方法有个初步领会.在教师的适时引导下，学生进行积极探索，化繁为简地拆解研究对象.具体到本节课中，学生自然而然地从“大小”“方向”两个角度有条理地进行探究.教学中先讨论大小，再研究方向，最后综合从大小与方向两个角度把握向量间的关系，有意识地向学生渗透了“控制变量、由浅入深”这一数学研究方法.在探究过程中，学生或作图，或建模，或思辨，都是解决问题的有效工具和合理途径，而教师只需要把握大方向，在学生回答的过程中适当补充问题，引领学生形成相对完整的认识思路并掌握知识的整体结构.这样的适当“留白”，能给学生以广阔的空间进行独立地、多维度地思考与探索，体现深度学习所重视的学生的参与度.

（三）善用“先行组织者”，促进类比迁移

类比归纳是重要的数学思想，也是数学深度学习的高阶思维方式之一.培养学生的类比归纳能力，才可能真正让学生学会用数学的眼光看待世界，用数学的思维思考世界.先行组织者的设计运用，能有效地发展学生的类比迁移能力.问题2的设计便是为新知的教学提供了在抽象、概括程度上都高于学习内容的材料，即陈述性“组织者”.具体地，即研究新问题的框架与脉络，从而为接下来的向量概念探究提供思维导图，学生很容易循序研究基本框架开展探究活动，并且一次次地将具体的学习经验通过类比、概括纳入高位认知结构中去，从而发展高阶思维能力.而在问题7中，再一次应用陈述性“组织者”，既对本节课学习进行方法论上的回顾总结，同时又为后续学习提供了框架.可见，先行组织者既帮助学习者形成新知识，还能帮助其保持知识，同时又使学习从知识表层通向数学思想方法层面.当然，细节处也需要进行设计先行组织者.例如问题4中从单位向量进一步推广到两个模相同的向量之间方向关系的类比探究.实际上这里是将单位向量的方向关系作为比较性“组织者”，利用较为熟悉的单位向量作为知识固着点，使得向量方向关系的探究更为简单而自然，展现从特殊到一般的概念推广学习方法，这也是教学的意义所在.

总之，如何促进学生深度学习是一个有待深入研究的课题.本文以问题链为抓手，以一节课的设计为例说明如何在数学课堂中实现深度学习，以期为数学深度学习的研究提供一些借鉴 .