灵活运用 整体求解

文江苏省如东县洋口镇初级中学801班 缪欣晨

勾股定理的内容看似简单，但与其他知识相结合就没那么简单了。

例已知：Rt△ABC的周长为40，∠C=90°，c=17，求△ABC的面积。

思考：要求面积，已知斜边c，可以先求出斜边c上的高，或者两条直角边的长。题目给出周长和斜边长，就可以知道两条直角边长的和为40-17=23，不妨设其中一条直角边为x，则另一条直角边为（23-x）。运用勾股定理列出方程，算出两条直角边的长，面积就得出来了。但面对方程x2+（23-x）2=172，我们并不会解。

再思考：已经知道a+b=23，结合勾股定理有a2+b2=172，我忽然想起完全平方公式，（a+b）2=232，即 a2+2ab+b2=232，这样通过减法可以得到 2ab=232-172=（23+17）·（23-17）=240，ab=120，而△ABC的面积=ab，所以答案为60。

很多题目中，我们也会遇到类似的问题，当部分无法求出时，就需要整体求解。

教师点评

这道题有一部分同学结合常见的勾股数，猜到问题的结果，但要说出为什么并不容易。根据题目的已知条件可以得出哪些结论，这是我们在审题时需要做到的。当发现列出的方程自己还不会解，无法分别求出两直角边长的时候，就只能另辟蹊径了。由两个关于a、b的等式，小缪同学能迅速联想到运用完全平方公式得出ab的值，体现了他掌握基础知识的扎实度和思维的灵活性。在解题过程中，先用综合法由因导果，再通过适当的联想，用分析法由果索因，这是需要同学们掌握的能力。