图解法求解动平衡问题的条件探究

谢志刚

摘   要：用图解法求解动平衡问题直观、简捷，深受师生喜爱。但是，长期以来都存在着这一方法只有在“一个力的大小和方向不变，第二个力的方向不变”的条件下才能使用的片面认识。文章通过理论分析及典型例证的方式说明其适用条件为“三个力的大小和方向中有任意三个影响因素确定”时就可以用图解法，或者“三个力的大小和方向中能确定的影响因素不够三个，但还有其他的已知条件”时也可用图解法求解。

关键词：图解法;动态平衡;适用条件;影响因素

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）12-0058-3

求解平衡问题的方法很多，其中图解法是一种直观、简捷的方法，在处理动态平衡问题时深受师生喜爱。但是该方法并不是万能的，只有满足一定的条件才能应用该方法处理问题。那么，其适用条件到底是什么呢？下面我们通过理论分析并结合一些典型例题的求解来探究其适用条件。

实际上许多人都习惯性地认为图解法的适用条件是：物体受三个力而处于动态平衡状态时，其中有一个力的大小和方向不变，第二个力的方向不变。比如，下面这个例题的求解：

例1 一物体放于水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体的质量为m，现对物体加一斜向上的拉力，该力与水平面的夹角为多大才能使物体在水平面上匀速运动时拉力最小，该最小拉力为多少？重力加速度为g。

该题可用解析法通过函数求极值解出。虽然受四个力而处于平衡状态，但也可以将图1中的地面支持力与滑动摩擦力合并成一个力R，画出R、F、G这三个力所构成的封闭矢量三角形，由于tanα=■=■=μ，可见力R的方向与竖直方向的夹角α始终不变，这样就满足了上面所说的条件，其动态图如图2所示。很容易看出：当F⊥R时F有最小值，即θ=α=arctanμ时Fmin=mgsinα=■。

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图1  物体受力图           图2  受力的矢量三角形

由这个例题可以看出，上面所说的条件满足时是一定能用图解法求解的，那么当上面的条件不满足时就一定不能使用图解法了吗？下面我们详细分析。

在处于动态平衡的三个力中，如将每个力的大小和方向分别作为一个影响因素，则共有六个影响因素，由前面的条件可知，“一个力的大小和方向不变，第二个力的方向不变”，说明有三个影响因素确定，那么，是否只要其中的任意三个影响因素确定就可以用图解法求解动平衡问题呢？下面我们从还可能存在的这五种情况分别分析。

（1）当三个力的大小确定时

当三个力的大小确定时，则矢量三角形的每个边长就确定。由余弦定理可知，每个内角也是确定的。当一个力的方向发生变化时，其他力的方向也随之发生相同的变化。用图解法时，只需画出矢量三角形，相当于整体一起转动。因太简单，不再举例说明。

（2）当三个力的方向确定时

当矢量三角形的三个边的方向确定时，如果某个力的大小发生改变，仍要形成封闭的矢量三角形，又要保证各力的方向不变，即三个内角大小不变。由正弦定理知，其他边所代表的力的大小也发生相应的变化，相当于整体放大或缩小。

例如，如图3所示的三根绳在结点O处联结，用力拉直使O点处于静止状态，当拉力F1方向不变大小增大时，三个力的方向保持不变，由动态图可知：其余两个力的大小也相应增大。

（3）当两个力的方向及第三个力的大小确定时

为了方便，我们直接以例题的形式进行分析和说明。

例2 在图3所示的例题中，保持结点O的位置不动，在上面两根绳都拉直的情况下（设两绳间夹角为钝角），下面一根绳的拉力F1保持大小不变、方向由F3的反向延长线逆时针缓慢转到F2的反向延长线的过程中（如图4所示），F2、 F3的大小怎么变化？

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图3  三绳联结情形       图4  改变图3中F1的方向

分析 由于力F1的大小不变，因此我们以结点O为圆心，以F1的大小为半径作一个圆周。当其沿F3的反向延长线方向沿圆周逆时针缓慢转到F2的反向延长线方向的过程中，在保证F2、F3沿图5所示方向不变的情况下作出封闭的矢量三角形。在任一矢量三角形中（如图5所示），由于F2、F3的方向不变，故其夹角θ不变，■比值不变。当F1的方向变化时，α、β角发生相应的变化，由正弦定理可以判断出F2、F3的大小变化情况。其动态图如图5所示，在F1方向变化的过程中，α一直增大、β一直减小，可见F3逐渐减小到零，而F2先增大后减小到与F1等大。显然这种情况图解法也可以求解。

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图5  F1变化到不同位置的矢量三角形

（4）当一个力的大小和方向及第二个力的大小确定时

例3 某同学利用如图6所示的装置来验证力的平行四边形定则，其中m1、m2已知，重力加速度为g，各接触面均光滑。当弹簧测力计的示数為F时，结点O平衡。如果增大弹簧测力计的拉力F，当系统再次平衡后，OB与竖直方向的夹角如何变化？

分析：FB=F，当F增大时，由平衡条件知，O点将向右上方移动，因而AO段绳将逐渐向水平方向靠近，即图7中FA与竖直方向的夹角增大。因此，我们以m1g这个力矢量的箭头为圆心，以大小恒等于m2g的力FA为半径画一个圆，当FA逆时针转动少许时画出其动态图如图7所示。由于初始位置不能确定，当FA逆时针转动少许时，FB与竖直方向的夹角可能增大，可能减小，也可能不变。可见这种情况图解法仍能求解。

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图6  题目示意图                    图7  动态图

（5）当两个力的大小及第三个力的方向确定时

例4 如图8所示，三根轻绳系在结点O处，左、右两根轻绳通过两固定的光滑定滑轮O1、O2分别与两个质量为m1、m2的物块相连，中间绳子悬挂质量为m的物块而静止于如图8所示的位置。此时结点O比定滑轮O1高，当缓慢增大m的质量时，绳OO2与竖直方向的夹角怎样变化？

分析：由平衡条件知F1=m1g、F2=m2g，这两个力大小不变，作图时每个力都要首尾相连而构成封闭的矢量三角形。因此，以这两个大小确定的力首尾相连处的点为圆心，以这两个力的大小为半径画两个圆周，这两个圆的圆周上各点就是这两个力的箭头和箭尾的可能位置。再根据第三个力的方向F3是竖直向下的，将其画在图中构成封闭矢量三角形。初始位置如图9中Ⅰ所示，随着m增大即F3的增大，依次经历图9中Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ位置。由动态图可知F2与竖直方向的夹角先增大后减小，可见这种情况还是可用图解法求解。

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图8  题目示意图            图9  动态图

由上面的各种情况可知：在三个力中只要有任意三个影响因素确定，则一定能通过图解法求解动平衡问题。其他情况，当已知的影响因素不够三个，但还已知另外的其他条件时，能否用图解法呢？我们再来看看下面的两个例子

例5 如图10所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α（α>■），现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变，在OM由竖直被拉到水平的过程中（      ）

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

分析：该题中物体受三个力而处于动态平衡状态，可以由正弦定理求解（解法略）。用图解法能否求解呢？很显然不满足上面所说的条件，只有一个力的大小和方向确定，另外两个力的大小和方向都不确定。可是我们注意到题中还有一个已知条件：第二个力与第三个力之间的共点夹角α不变，如果将这三个力也画成一个封闭的矢量三角形，即是这两个力的首尾相连夹角θ（θ=π-α，为锐角）也不变。在动态变化图中，由于θ及其所对应边的大小、方向都不变，相当于一个圆中的一个弦（或圆弧）及其所对应的圆周角不变，故封闭的矢量三角形的三个顶点就在同一圆周上。由于重力的大小和方向不变，对应圆周上就是一个固定的弦，它所对的圆周角就是θ，是不变的。又因为θ为锐角，故重力G这根弦不能过直径。画出动态图依次经历如图11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ所示位置，可以看出，在F1由竖直缓慢变到水平的过程中，F1是先增大后减小，F2是一直增大到最大值，故该题应选A、D选项。

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图10  题目示意图          图11  动态图

由例5可知，虽然不满足上面的条件，但还有其他已知条件时，也能用图解法求解。

综上所述，在动平衡问题中，能使用图解法的条件并不是“一个力的大小和方向不变，第二个力的方向不变”，而应当是三个力的大小和方向这六个影响因素中只要任意确定三个影响因素时，一定可用圖解法求解。另外，若已知的影响因素不够三个，但还有其他已知条件时，仍可能用图解法求解动平衡问题。同时，我们也可以看到使用这一方法时，画好矢量三角形和圆周很重要。

参考文献：

[1]邓宏伟.较复杂动态平衡问题的解题策略[J].中学物理，2013，37（10）：65.

（栏目编辑    罗琬华）