例析平衡中的“自锁效应”问题

张超

摘   要：共点力的平衡是高考的热门考点之一。“自锁效应”问题是共点力的平衡中特别的一种类型。对于该类问题，学生往往无从下手或方法不当。文章旨在通过例题解析，总结出解决“自锁效应”问题的核心思路与方法，以供参考。

关键词：力的平衡;自锁效应;临界问题

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）12-0052-2

共点力平衡中的自锁问题，其力学的实质是物体发生相对滑动需要克服的最大静摩擦力与物体间正压力同步按相同比例增大，使得动力总不能克服最大静摩擦力，从而发生“自锁效应”。详见例题。

例题 如图1所示，质量为m的小物块放置在一斜面上（斜面固定），当斜面调整为倾角为30°时，物块恰能沿斜面匀速下滑，对小物块施加一个大小为F的水平向右的恒力，恰能使得小物块沿斜面匀速向上滑动（滑动摩擦力等于最大静摩擦力）。若将斜面的倾角增大并且大于某一临界角θ0时，不论水平恒力F为多大，都不能将物块沿斜面向上推动，求：（1）物块与斜面间的动摩擦因数;（2）临界角θ0的大小。

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图1  物块在斜面上

解 （1）物块匀速下滑，根据平衡条件有

mgsin30°=μmgcos30°，得μ=■。

（2）設斜面倾角为α，物体能沿斜面匀速上滑，则有Fcosα=mgsinα+f;FN=mgcosα+Fsinα。

其中，f=μFN。解得F=■。

当cosα-μsinα→0，即cotα→■时，F→∞，故临界角θ0=α=60°。

“不论水平恒力F为多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”表明本题是一道典型的“自锁效应”例题。由分析过程，我们不难总结发现：解决“自锁效应”问题的方法实质是平衡中的临界与极值问题，临界状态可理解为“刚好发生”和“刚好不发生”某种现象的状态。求解时，一般先根据平衡条件及有关知识列出方程，而后采用极限法求极值。接下来，利用上述方法解析一道“自锁效应”的生活实例问题“变式”。

变式：如图2所示是家庭常用的拖把模型，设拖把头质量为m，拖杆的质量可以忽略不计，地板与拖把头间的滑动摩擦因数为μ，如使用该拖把在水平地面上拖地，设拖杆与竖直方向的夹角为θ，且拖地时需要沿拖杆方向推拖把。（已知重力加速度为g）则：（1）若拖把头在地板上匀速拖动，求解人对拖杆的推力。（2）若存在一临界角θ0，当θ≤θ0时，无论沿着拖杆方向的推力是多大，都无法让拖把从静止开始拖动（设能让拖把从静止刚好开始运动的水平推力与此时拖把对地板的正压力的比值为λ），请求出这一临界角的正切tanθ0。

解：（1）根据平衡条件可得

Fsinθ=f（1）

Fcosθ+mg=N（2）

f=μN（3）

联立（1）（2）（3）式得

F=■mg（4）

（2）若无论沿着拖杆方向的推力是多大，都无法让拖把从静止开始拖动，则

Fsinθ≤λN（5）

由（1）（5）式得sinθ-λcosθ≤λ■（6）

当F→∞，有sinθ-λcosθ→0（7）

故这一临界角的正切tanθ0=λ（8）

希望通过上述两题的解析，学生能掌握解决“自锁效应”问题的核心思路与方法。在常规教学中，物理教师应有意识地渗透数学思维方法，更好地培养学生应用数学知识解决物理问题的能力。

参考文献：

[1]朱木清.物理教学中数学能力培养探讨[J].教学考试，2018（3）：67-68.

（栏目编辑    罗琬华）