浅谈数值分析在机械系统动力学中的应用

摘 要：通过对数值分析的简介，结合该方法在机械系统动力学中的应用实例，指导机械系统动力学在数值分析的基础上更好更快的发展。

关键词：数值分析；机械系统动力学；应用

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.23.0041 数值分析的简介

数值分析（numerical analysis）是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象，为计算数学的主体部分[1]。

数值分析课程关心的问题是如何设计有效的方法近似计算某个数学问题或数学模型的解[2]。由于数学问题或数学模型一般都是工程实际问题通过一定的简化假设得到的数学表达式，所以该数学问题实际上是要解决的实际问题的一个近似问题，从这个意义上说，设计寻找数学问题的近似解的方法要比计算它的精确解更合适。

在自然、经济、社会、科学、技术领域中，遇到相关问题都可以用相关学科知识和数学语言进行近似描述，这个过程称为数学建模。而在实际过程中，这些结果往往需要大量计算才能得出，而且需要借助计算机的力量。所以数值分析主要研究的就是采用各种数学方法对生产实际中的实际问题进行建模，通过计算机计算其近似值的一个过程。同时数值分析在解决问题时按照实际情况提出实际问题，然后建立相关联的数学模型，接着选用可靠地数值计算方法，进行计算机程序设计，最后上机近似算出结果的过程。借助计算机应用的数值分析具有计算能力强，误差分析小，有可靠理论依据和数值实验验证的特点。

2 数值分析在机械系统动力学中的应用

数值分析在机械系统动力学中的应用极为广泛。在某些生产机械中，等效力矩同时是等效构件转角和角速度的函数。当等效力矩的函数式过于复杂而不易积分时，或者等效力矩以一系列离散数据给出时，就无法用解析法，而必须用数值法来求解。数值法是将微分方程分段处理，将时间区间划分为很多相等的小区间，近似认为区间内的函数呈直线变化或按某种近似规律变化，然后由区间的初始值求区间的终点值，这样一个区间一个区间地求下去。数值法在电子计算机上实施。虽然是一种近似算法，但一般均能保证工程应用所需的精度。现以牛头刨床为例：

微分方程：

用龙格库塔法求解，可得出迭代式：

式中h即为步长，即划分的小的时间区段的长度。这样，根据给定的初始条件， 可求出时刻的角速度。依此方法不断求解下去，即可得到等效构件的运动规律。

除此之外，数值分析在多自由度振动方程的解耦中有很大的应用。目前， 我们通常采用模态叠加法和直接积分法这两种方法对该线性系统的运动方程进行求解。 一般情况下，阻尼不存在对模态的正交性，我们采用复模态分析方法即先把近似状态方程化为一阶，接着用解特征向量和广义特征值的方法组成变换矩阵，最后用复模态叠加求解。对存在比例或模态阻尼系统， 线用实模态分析的方法解耦， 而后用模态叠加的方法求解。对任意阻尼矩阵， 不需要采用特征值与特征向量列方程， 也不需要用坐标变换方法解耦，直接利用一种直接积分法，求出系统在时域内的动态响应，该方法比较适用于计算机运算。

由线性代数的理论可知，该空间的任意一个矢量都可以用这组基底的线性组合来表示：

经转化处理得：

根据正则振型矩阵的正交性质，上式可化为：

由于该矩阵为对角形的特征值矩阵，所以可以把上式展开为：

显而易见，以上方程组是n个单自由度的振动方程组成。单纯从方程组来看，是通过线性变换把一个多元方程转化为多个一元方程。从机械动力学来看，把一个具有n个自由度的振动问题转化为n个单（一个）自由度的振动问题，也就是说把一个由n个自由度组成的振动问题分解为n個独立的主振动。该运动状态是通过各阶主振动的叠加而来的。这种方法称之为振型叠加法。振型叠加法可以解耦多自由度运动状态，极大方面实际问题的解决。

3 结语

综上，数值分析在各个的领域中应用非常广泛。机械系统动力学涉及知识广泛，但是核心是构建一个动力学模型，对模型进行分析，列出微分方程，最后进行求解。在这个过程中多次涉及到数值分析的知识。首先在构建模型时，这是一个近似的过程，也就是说我们在一直假设，直到逼近真实值。这点就像数值分析里的函数逼近，用一已知函数去逼近一个现实中难以解决的问题。同时在求解微分方程时难免要再次用到数值分析里对方程的解法。总之，数值分析在机械系统动力学中得到了充分的应用，机械系统动力学在数值分析的基础上得到更快的发展。

参考文献：

[1]李庆扬.数值分析[M].清华大学出版社有限公司，2001.

[2]封建湖，车刚明等.数值分析原理[M].科学出版社，2001.

作者简介：付园（1986-），男，安徽宿州人，研究生，讲师，主要从事机械设计制造及软件开发等研究。