实代数中有关正锥的讨论①

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(1.淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000；2.宿州学院,安徽 宿州 234000)

0 引 言

在给定的线性空间中，引进了一个正锥来规定一种序关系。在文中第一节将给出一些定义,第二节证明线性序域(F,<)上的一给定正锥和对于一切属于F的正锥有F中元素的平方和的集合都属于正锥及在正锥P下定义证明F上的一个二元关系为线性序的一关系等。

1 准备工作

定义1[1]称(F,<)为线性序域,假如

1)F为域;

2)″<″是F上的一个线性序;

3)a

定义2[1]称P⊆F是域F上的一个正锥，假如

1)0⊆P,-1∉P;

2)x,y∈P→x+y∈P,xy∈P;

3)∀x(x∈P∨-x∈P).

定义3[1]称域F是可序化的,如果存在F的一个线性序<使得(F,<)为线性序域.

定义4[1]如果F的子集P满足正锥条件的一部分:-1∉P,且对于一切x,y∈P,有x+y∈P,x·y∈P,则P称作F的一个准正锥.

定义5[2]域F中元素之间的一个二元关系称作F的一个序，如果下列条件成立：

(1)对于任意a∈F,aa；

(2)若ab且ba，则a=b；

(3)若ab且bc，则ac；

(4)对于任意a,b∈F,ab或者ba；

(5)若ab，则对与任意c∈F,a+cb+c；

2 主要结果的证明

定理1 假如(F,<)为线性序域,则P={x∈F:x≥0}为一正锥.

证明由P={x∈F：x≥0},即P⊆F.

1)0∈P,-1∉P.

2)任意P中的元素都在F中,现在只需证明P在加法和乘法的运算下是封闭的.

设a,b∈P,a,b≥0

(1)在加法下是显然的.

设a,b∈P,a,b≥0

a+b>0，则a+b∈P.

(2)在乘法下：

a·b≥0,则a·b∈P.

3)∀x∈F

(1)当x>0时,x∈P,

(2)当x<0时,-x>0,则-x∈P,

(3)当x=0时,x∈P.

定理2 对于F的一切正锥P,∑F2⊆P.

定理3 假如P⊆F为F的一个正锥.定义F上的一个二元关系

x<

可以证明<<为F上的一个线性序关系.

证明1)∀x(x<

2)∀x,yx-y∈Py<

y-x∈Px<

即∀x,y(x<

3)∀x,y,zy-x∈Px<

z-y∈Py<

即∀x,y,z(x<

4)∀x,y，x-y∈Py<

y-x∈Px<

即∀x,y(x<

5)若x<

6)若0<

定理4 证明在准正锥的类ε={P⊇∑F2:P是F的一个准正锥}中⊆是在它上面的一个序关系.

证明证明⊆是准正锥的类的一个序关系，只需证明

x2⊆y2当且仅当y2-x2⊆P

(1)∀x,x2⊆x2.

(2)∀x2,y2，x2-y2∈Py2⊆x2

y2-x2∈Px2⊆y2

x2=y2∈P

即∀x2,y2(x2⊆y2∨y2⊆x2∨x2=y2)

(3)∀x2,y2,z2，y2-x2∈Px2⊆y2

z2-y2∈Py2⊆z2

则z2-x2∈P⟹x2⊆z2

即∀x2,y2,z2(x2⊆y2∧y2⊆z2→x2⊆z2).

3 结 语

因此，通过在实代数中有关正锥的讨论，可以得到在给定的线性序域上有关正锥的证明及正锥的可序化.