振动轨迹参数对非球面光学元件表面质量影响
2018-12-26李迎春张尧尧孙江波
李迎春， 张尧尧， 孙江波
(1.长春工业大学 机电工程学院， 吉林 长春 130012;2.吉林交通职业技术学院 机械工程分院， 吉林 长春 130012)
0 引 言
非球面表面常用来指旋转对称、轴对称或者完全不对称的自由曲面。光学系统中使用非球面元件(Aspherical Optics, AO)可以提高成像质量，减少装配尺寸或光学元件的数目，减轻仪器重量，简化装配过程，降低整个仪器的生产成本[1],所以AO在现代精密光学仪器、光电通信、航空航天、国防以及民用等领域都有着极其迫切的应用需求[2]。但是制造这些AO的材料通常都是切削性能差、脆性高、韧性差的难加工材料或者黑色金属，在加工的过程中，刀具都会产生较为严重的机械与化学磨损，进而加大刀具定位难度与加工表面的粗糙度，最终对加工表面的光学性能产生巨大的影响[3-5]。
金刚石车削一直以来都被认为是一种可以快速获得光学质量表面的加工方法，但是由于金刚石中的碳原子和被加工材料中的铁原子存在很好的化学亲和力，切削钢铁类的材料时会很快发生石墨化，使刀具钝化，严重影响加工表面质量[6]。所以，研究一种高精密的难加工材料AO的加工方法尤为必要。文中研究应用3D-EVC加工AO[7-9]，改进现行的三维椭圆驱动方程(Three-Dimensional Ellipse Driven Equation, 3D-EDE)，定义了一种含有表征三维椭圆形状和空间位置参数的3D-EDE，通过对加工复曲面的三维表面微观形貌(Three-Dimensional Surface Micro-Topography, 3D-SMT)的仿真，论述了3D-EVC中椭圆振动轨迹参数(Elliptical Vibration Trajectory Parameters, EVTP)对加工表面粗糙度Sq的影响规律。
1 表征形状和空间位置的3D-EDE定义
为了能够通过椭圆参数表达三维椭圆的形状与它在空间中的相对位置，在现行的3D-EDE基础上发展了一种新的空间3D-EDE[9]，通过将二维平面椭圆绕三个坐标轴y、z、x旋转的方式得到空间3D-EDE，具体见下式:
(1)
该方程由7个变量组成，其中4个变量用来体现三维椭圆的形状，另外3个变量用来描述它在空间中的位置。
式(1)表明，给定变量m1、m2、δ1、δ2、θ1、θ2、θ3后，便可计算三维椭圆的形状及其在空间中的相对位置。当给定二维平面椭圆变量m1=0.010 mm、m2=0.005 mm、δ1=0°、δ2=45°，旋转角度θ1=45°、θ2=45°、θ3=45°后，得到3D-EDE的振动轨迹(Vibration Trajectory, VT)如图1所示。
图1 3D-EDE的VT及其投影
2 三维表面的表面粗糙度Sq的定义
上世纪90年代，在欧共体资助的大型表面计量研究项目中，开发了一套较为全面的三维表面粗糙度评价体系[10]。参照其中表面形貌均方根偏差Sq的含义，文中定义Sq为3D-SMT的均方根偏差，以此来对表面质量进行评估。Sq是一个统计幅度参数，定义为样本范围内，表面粗糙度偏离参考基准的均方根值。Sq的离散定义：
(2)
式中:Nx、Ny----分别为x、y方向点的个数；
u、v----3D-SMT仿真区域变量，其中u=0,1,2，…，Nx-1,v=0,1,2，…，Ny-1；
(xu,yv)----仿真区域内第(u,v)个点的坐标；
gh(·,·)----3D-SMT函数。
基于快速刀具伺服金刚石切削过程中的表面形貌模型算法[11]，可得到3D-EVC方法加工AO的3D-SMT模型，然后再由式(2)计算加工表面粗糙度值。以复曲面为例，给定仿真参数见表1。
表1 复曲面的3D-SMT仿真参数
进行3D-SMT仿真，得到复曲面的3D-SMT如图2所示，其局部放大图如图3所示。
(a) 复曲面3D-SMT立体图 (b) 复曲面3D-SMT俯视图
图2 复曲面3D-SMT及其俯视图
从图2可以看到金刚石车削过程中生成的螺旋线结构，从图3可以清晰地观察到应用3D-EVC方法加工AO特有的形貌特征。
3 椭圆振动参数对Sq的影响
以复曲面为例，使用文中新定义的3D-EDE，通过调整参数，分析三维椭圆的形状特征及空间相对位置对Sq的影响，设置切削参数见表2。
表2 椭圆参数对Sq的影响时设置的切削参数
3.1 三维椭圆形状参数对Sq的影响
3.1.1 平面椭圆的振幅比对Sq的影响
给定平面椭圆的相位角δ1=0°、δ2=90°以及绕y、z、x轴旋转角度θ1=90°、θ2=45°、θ3=45°，椭圆振动频率f=800 Hz，分析平面椭圆y、z轴振幅之比对Sq的影响。应用Matlab软件，以3D-EVC加工复曲面，计算不同振幅比椭圆振动轨迹(Elliptical Vibration Trajectory, EVT)对应的3D-SMT，得到椭圆振幅比与Sq的关系曲线如图4所示。
图4 椭圆振幅比对Sq的影响规律曲线
观察发现，平面椭圆振幅比的改变将影响Sq，当振幅比为1/2时，Sq最小。
3.1.2 平面椭圆的相位差对Sq的影响
yoz平面内椭圆的表达式为：
(3)
整理有：
(4)
根据三角函数关系，在研究平面椭圆的相位差对Sq的影响时，只需探讨相位差在0°～180°之间便可。
(5)
给定平面椭圆的y、z轴振幅m1=0.003、m2=0.006，绕y、z、x轴旋转角度θ1=90°、θ2=45°、θ3=45°，椭圆振动频率f=800 Hz。应用Matlab软件，以3D-EVC方法加工复曲面为例，计算不同相位差的EVT的3D-SMT，得椭圆相位差与Sq的关系曲线如图5所示。
图5 相位差对Sq的影响规律曲线
观察发现，平面椭圆相位差的改变将改变Sq：当相位差由10°增加至45°时，Sq减小；当相位差由45°增加至170°时，Sq增大。显然，取相位差为45°时，Sq最小。
3.2 空间三维椭圆位置对Sq的影响
3.2.1y轴为中心线的平面椭圆旋转角度对Sq的影响
给定平面椭圆的振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，绕z、x轴旋转角度θ2=45°、θ3=45°，椭圆振动频率f=800 Hz。应用Matlab软件，以加工复曲面为例，对以y轴为旋转中心线，不同平面椭圆旋转角度的EVT进行3D-SMT计算，得到旋转角度与Sq的关系曲线如图6所示。
观察发现，用3D-EVC方法加工复曲面时：
1)旋转角度由10°增加至135°过程中，Sq增大；
2)旋转角度由135°增加至180°过程中，Sq减小；
3)旋转角由180°增加至270°过程中，Sq增大；
4)旋转角由270°增加至315°过程中，Sq减小。
显然，旋转角度为10°时，Sq最小。
图6 y轴为中心线的旋转角度对Sq的影响规律曲线
3.2.2z轴为中心线的平面椭圆旋转角度对Sq的影响
给定平面椭圆的y、z轴振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，绕y、x轴旋转角度θ1=45°、θ3=45°，椭圆振动频率f=800 Hz。以3D-EVC加工复曲面为例，对以z轴为中心线，不同旋转角度的EVT进行3D-SMT计算，得到旋转角度与Sq关系曲线如图7所示。
图7 z轴为中心线的旋转角度对Sq的影响规律曲线
观察发现：
1)旋转角由10°增加至100°过程中，Sq增大；
2)旋转角由100°增加至280°过程中，Sq减小；
3)旋转角由280°增加至315°过程中，Sq增大。
显然，旋转角为280°时，Sq最小。
3.2.3x轴为中心线的平面椭圆旋转角度对Sq的影响
给定平面椭圆的y、z轴振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，绕y、z轴旋转角度θ1=45°、θ2=45°，椭圆振动频率f=800 Hz。以3D-EVC加工复曲面为例，对以x轴为中心线，不同平面椭圆旋转角度的EVT进行3D-SMT计算，得到旋转角度与Sq的关系曲线如图8所示。
图8 x轴为中心线的旋转角度对Sq的影响规律曲线
观察发现：
1)旋转角由10°增加至90°过程中，Sq减小；
2)旋转角由90°增加至180°过程中，Sq增大；
3)旋转角由180°增加至270°过程中，Sq减小；
4)旋转角由270°增加至315°过程中，Sq增大。
显然，旋转角为90°时，Sq最小。
3.3 椭圆振动频率对Sq的影响
给定平面椭圆的y、z轴振幅m1=0.003、m2=0.006，相位差δ2-δ1=45°，绕y、z、x轴旋转角度θ1=135°、θ2=45°、θ3=45°。以3D-EVC加工复曲面为例，对不同椭圆振动频率的EVT进行3D-SMT计算，得到振动频率与Sq之间的关系曲线如图9所示。
图9 椭圆振动频率对Sq的影响规律曲线
观察发现：随椭圆振动频率的增加，Sq逐渐减小，即加工表面质量得到了提高，当振动频率f=800 Hz时，Sq最小。
4 结 语
定义了可以表征三维椭圆形状和空间位置的3D-EDE，同时对三维表面的Sq进行了定义，揭示了三维EVTP(形状参数、空间位置参数和振动频率)对Sq的影响规律，在研究某一参数对三维表面的Sq的影响规律时，三维EVTP的其他参数是给定的，其他参数的变化可能会影响这一参数的选择。在下一步的工作中，将以3D-EDE的形状参数、空间位置参数以及振动频率作为优化变量，以Sq最小作为目标函数，建立三维EVTP优化的数学模型，应用优化算法对三维EVTP进行优化，为选择最优的三维椭圆的振动参数进行切削实验提供理论基础，从而获得最优的表面质量和最佳的切削性能。
