“实数大小比较”有妙招

蒋根林

（作者单位：江苏省南京市科利华中学）

数系扩充到实数后，数的概念范围扩大了，我们已步入实数的殿堂.在有理数范围内可以进行数的大小比较，那么学习无理数以后，在实数范围内如何进行数的大小比较呢？下面结合具体例题给同学们总结归纳.

妙招1：数形结合法

【例1】比较大小：-，-2．

【解析】我们知道边长为1的正方形对角线长为 2，于是先在数轴上画出表示-的点，如图：

【回顾】事实上，我们还可结合勾股定理，利用数轴来比较-、-等的大小.

妙招2：“回到概念”法

由于数学概念本身有“双向性”：“正向”与“反向”，所以，在用概念时就有“正用”和“反用”两种方法.

【例2】比较-与-的大小．

【解析】比较两个负数的大小，可先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小.由于，3的算术平方根为，2的算术平方根为，因为3＞2，所以＞，故-＜-.

【回顾】我们借助平方根、立方根的意义，对它们的概念作出分析，从中悟出道理：一个较大的非负数的算术平方根较大；一个较大数的立方根较大.然后加以应用，问题获得解决.

【例3】比较大小：

【解析】（1）因为是140的算术平方根，可反用平方根概念，所以（）2=140.

又因为122=144＞140，所以＜12.

又因为（2.5）3=15.625＞9，所以＜2.5.

【回顾】这里主要是对平方根、立方根的概念逆向思考.一个非负数a的平方根为：±，反过来，（±）2=a（a≥0）；一个数a的立方根为，反过来，（）3=a.上面的求解就是反用概念的“平方法”或“立方法”.

妙招3：估值法

【例4】比较大小：+2______

【解析】由于4＜＜5，所以6＜+2＜7，又由于＞7，所以+2＜

【回顾】对于能直接估计出大小的两个平方根的大小比较时，我们应该首先考虑用估值法比较两个平方根的大小，因为这种大小比较的方法最直接.对于有些无理数，我们可以综合平方根或立方根的知识，来一个两头“夹逼”，找出与这些无理数紧相邻的两个完全平方数，确定这个无理数所在的范围，然后再与其他数比较大小.

妙招4：特值法

【例5】若0＜a＜1，直接比较、的大小.

【解析】因为0＜a＜1，若a=

【回顾】特值法对于处理“直接填写答案”的题型（包括填空、选择题型）很有效果.对于解答题或数学研究来说，特值法是“以退为进”策略的具体化体现，通过赋值分析，往往能发现规律、提示解答方向，是一种很有意义的求解策略.