高中数学双曲线问题的解决方法

2018-12-25刘彧潇湖北省武汉市洪山高级中学

数码世界 2018年4期

刘彧潇湖北省武汉市洪山高级中学

双曲线问题一直以来就是高中生学习数学时难以攻克的对象，其同时也大量出现在各种高中数学考试中。其中所涉及的知识虽然不多，但是随着国家对学生能力要求的逐渐提高，其考的方式越来越灵活，使得部分高中生在解答双曲线问题的时候常常有茫然无措之感。

1 高中数学中双曲线问题相关内容简介

如前所述，当前我国高中数学中双曲线问题所涉及到的知识不是太多，其考的重点在于高中生灵活运用知识、灵活思考的能力和素质。因此高中生就要在打牢知识基础的同时，平日里加强对双曲线问题的训练，并多思多想，以提高自身灵活运用知识解决问题的能力素质。另外，当前我国高中数学中的双曲线问题虽然考地比较灵活，看起来难以摸清楚其中的规律，但是纵观近几年来高考中的双曲线问题可以发现，其大概有三种形式，而这三种形式又是紧紧围绕着双曲线的标准方程的，在这一方面其常考的题目又多为求实半轴长和虚半轴长。而要求解这种题目主要有两个思路。一是根据题目中所给的条件直接将双曲线的实半轴长和虚半轴长求解出来。二是根据题目中所给的条件将a＞0，b＞0）的标准方程设出来，再构建起关于a和b的方程组，并进而求得双曲线的实半轴长和虚半轴长。

2 高中数学双曲线问题的解决办法

如前所述，高中数学双曲线问题常见的有三种形式，根据这三种形式具体情况、特点的不同，其各自分别相应的解决办法为直接法、定义法、待定系数法。以下一一进行说明。

2.1 高中数学双曲线问题解决办法之直接法

高中数学双曲线问题解决办法中的直接法就是指不把双曲线的标准方程设出来，而是直接建立方程或方程组求出双曲线实半轴长a的值和虚半轴长b的值，其解题的主要依据是双曲线和其相关圆锥曲线的几何性质。另外，需要注意的是，考虑到焦点的重要作用，就要先将焦点位于哪条坐标轴明确下来，再正式开始求解问题。

例：有一离心率为二的双曲线，其焦点分别为（-4,0），（4,0），则其方程应为＿。

由题目中所给出的焦点坐标可以直接知道双曲线焦点在什么位置，并得出半焦距的长c为4，然后借助题目中所给的离心率就可以将双曲线实半轴长a和半焦距长c的关系确定下来。

解：有题目中所给条件可知，双曲线的焦点在x轴上，其半焦距c=4，则有离心率e==2，可得 4=2a，则 a=2，则有，最终可得双曲线的方程为

2.2 高中数学双曲线问题解决办法之定义法

定义法主要适用于双曲线问题中求解动点轨迹方程这一类型的题目。高中生在解答这类题目时，要先根据题目中所给的信息和条件，分析所求点的运动轨迹是否为双曲线，只有是双曲线，才能使用此种办法。在确定下来后，高中生就要根据题目中所给的其它相关条件和信息将双曲线的实半轴长a和虚半轴长b弄明白，并进而求解出双曲线的标准方程，最终实现求解动点轨迹方程的目的。

例：设有一动圆 M 和 C1（x+2）2+y2=1、C2（x-2）2+y2=4 都为外切的关系，其则其圆心M的轨迹方程应为＿。

根据题目中动圆M与C1、C2均相切的条件可以得到等式|MC2|-|MC1|=1,则可知动圆圆心M的运动轨迹应当为双曲线的一支。然后据此，再结合相关条件就可以求得双曲线实半轴长a的值和虚半轴长b的值。

解：设动圆M的半径为r，则|MC1|=r+1,|MC2|=r+2。

∴|MC2|-|MC1|=1，

则动圆圆心M的运动轨迹当是以C1、C2为焦点，实轴长为一的双曲线的一支。

2.3 高中数学双曲线问题解决办法之待定系数法

所谓待定系数法是指，先根据题目中所给的条件将所要求的双曲线方程设出来，然后构建起相应的方程或方程组，以此来讲参数求解出来。其中需要注意的是，这类问题的题干中常常隐藏有能够与双曲线的标准方程特征联系起来的条件，借助于此，就可以将相应的双曲线标准方程或变式方程巧妙地设出来，这样就能大大节省时间、提高解题效率。