讨论范围过于广，特殊值来帮忙

王凤鸣 王法岩

函数恒成立问题，一直是函数学习中的重点，也是难点，如何解决此类问题，一直是学生的头痛之事，我们知道，对于恒成立问题的一般方法有两种，一种方法是分离参数求最值，另一种方法是直接求函数的最值，但是在直接求函数的最值中，可能需要进行分类讨论，而分类讨论又是我们学生的薄弱环节，同时有些问题，分类讨论的所分的类特别的多，导致学生进行不下去，那么对于有些问题，我们能不能有效的减少分类呢？近期，笔者所在学校进行了一次模拟考试，在随后的讲评课上，笔者借助其中的一道题目，引导学生进行一些简化运算的技巧.

本题的第（1）问很容易求解，予以略过，

本题的第（2）问得分非常低，从评分系统查询，可以发现该问的平均分为1.2分，为了探究该题，笔者在课堂上对此题进行讲评.（以下是课堂实录，老师简称师，学生简称生）

2 课堂实录

师：对于第二问，我想知道大家在考试的时候是如何想的？ （此时班级沉默不语）

见此情况，笔者继续发问：我们可以畅所欲言，错了也没有关系，只有发现错误，我们才有机会改正错误，谁愿意谈一下自己考试时的想法，只要愿意谈的，我给每人准备了一份小礼物.（此时班级顿时活跃起来）

生1：我发现此题的最高项系数含有参数，我先讨论了a=0，这样我发现此时不成立，我又讨论了a>0，此时开口向上，对称轴方程为x=a+2/2a，然后我就做不下去了.

师：生1 的思路很清楚，讲得也很好呀（此时我拿出一个小礼物一一棒棒糖发给生1，全班顿时热闹起来，很多同学举起手要回答），但是他没有继续下去，我们谁能对他的方法进行补充呢？

生2：对a+2/2a分别与0和1比，找出此函数的最大值（上确界），让它的最大值（上确界）小于0就可以了，但是考试的时候我没有写下去，我发现太复杂了，讨论了a>0以后，还需要讨论a<0，而此时还需要对a+2/2a分别与0和1进行比较，这样实在太复杂，没有信心做下去了.

师：生2的思路清晰吗？（大家异口同声：很清晰），但是为什么做不下去呢？大家想一想，如果坚持下去能不能成功？

生：一定可以成功，但是太复杂，

师：这就是道路是曲折的，但是前途是光明的.（全班大笑）那么一道问题，我们分类讨论需要分7类，是有点复杂了，如果是我，我也不想做下去了，那么大家想一想，还有没有办法可以简化我们的分类？

师：非常好，生3有效的简化了我们的问题，当a>0时，不需要进行讨论了，那么a<0时是否也能简化呢？

此时大家再一次陷入沉默，

生4：当a<0时，此时是开口向下的二次函数，最大值除了在x=0或者x=l处取得外，还有可能在对称轴x=a+2/2a处取得，而此对称轴又是变化的，那就必须对它进行讨论了，我认为不能简化了，

此时学生几乎都点头表示赞同.

师：好，那我给大家举一个生活中的例子，比如说我比我们班的所有同学都重，大家能猜猜我大概有多重吗？

此时班级再一次沸腾起来，下面都在猜测我的体重，

生5：至少60KG.

师：为什么？

生5：因为我是我们班的一员，而我是60KG呀，您比我们班所有同学都重，所以你至少60KG.

此时，其他学生大笑，

师：大家静下来，想一想生5所说的有没有道理，如果有道理，能不能把他说的话提炼出数学的语言，有分7类，而是一类也没有分，大家想明白吗？对于分类较多的问题，我们如何处理？

生8：讨论范围过于广，特殊值来帮忙.

师：（总结）生8总结的特别好，如果我们分类讨论的类特别多时，我们可以尝试先带入特殊值进行缩小参数的范围，从而减少我们分类讨论的类，

下面我们看一个例子：

学生很快得到了结果，并且大大简化了分类讨论，下面演算的同学也大多数很快得到了结果，实现了本节课的教学目标，也让学生深刻体会了特殊值方法的作用.

3 课后反思

3.1 抽丝剥茧，查找错因

拿到学生的考试成绩，除了分析成绩以外，还要分析在丢分严重的题目上的错因：有些是知识上的漏洞;有些是方法掌握不牢固;有些本身是易错点;有些是难点等等，对于难点的突破，不能简单地分析一下题目，讲讲答案就行了，要分析学生没有突破难点的原因，要做到这点就不能仅仅看学生的试卷了，要深入学生答题过程的想法，让学生再现答题方法和思路受阻点，本节课选择在课堂上还时间给学生，让学生大胆说出自己的思路和困惑，从而精确“号脉”.

3.2 关注新知生长点，合理切入答案

找到学生答题上的受阻点，接下来就是如何让学生理解答案的合理性，并接受答案，从中学会分析问题和解决问题的方法，本节课笔者并没有直接把答案告诉学生，而是采取举例子引导的方式，让学生去发现并总结方法，课堂教学是富有鲜活个性的灵动生命之间的对话与交流，我们要关注学生对新知的理解程度，创设合理的情景来切入解法，而不是直接把把答案灌给学生.

3.3 完善教学环节，有效突破难点

现在有不少的教师在测试结果下来后抱怨：“这道题我讲许多遍了，学生还是不会！”“这种方法我上周刚刚讲过，怎么还是不会？”

殊不知这种现象的出现正是前面的课堂教学环节中出现了偏差，但是却没有引起教师的深度反思，然后在试卷讲评环节上，也没有研究学生的错因，并制定切实可行的评讲方式，依旧只是把解法机械重复，造成学生依旧无法突破难点.

学生对教学难点的突破是一个反复的过程，从难点的出现、难点的测试，到学生的反馈、难点的重现，需要做持续性的关注，要根据学生对难点掌握情况的生成，对我们预设的内容进行改进，从而帮助学生有效突破难点.

4 總结

学生对知识方法的掌握，是一个综合性的工程，需要我们对教学的各个环节进行反思，对学生的掌握程度需要做持续性的追踪，从而，定制出与学生现状相吻合的教学方法与教学策略，这是一个动态的长期的过程，指望毕其功于一役，是不行的.