多元和不等问题融合 求导与构建函数并举①

石向阳

(湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学 410129)

1 巧妙消元构建函数

因为多元，所以通过消元来解决是很自然的想法．解题中，通过消元，分多为少、化繁为简、变难为易，常可降低思维难度．

例1设函数f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点且x1

当a≥0时，对任意x>0，f′(x)>0，

所以此时函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)．

(2)由(1) 可得，当a≥0时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，不合题意． 故a<0.

>0.

所以等价于只要证明

即证明

下面证明

2 整体换元构建函数

在处理多变元函数问题中，用新元去代替该函数中的部分(或全部)变元．从而使变量化多元为少元，即达到减元的目的．问题中的参数减少了，复杂问题就简单化、明朗化了，这就是换元思想独到的作用．

例1第(2)问另证由(1)知要证

lnx1= 0，

即证明 (x1+x2)[4(x2-x1)+(lnx2-lnx1)]

⟺(x1+x2)(lnx2-lnx1)>2x2-2x1

显然当t>1时，g′(t)>0，

所以g(t)在[1，+∞)上单调递增.

故g(t)>g(1)=0，命题得证．

3 设定主元构建函数

在许多数学问题中，都含有常量、参量、变量等多个量．通常情况下，有一些元素处于突出和主导地位，可视之为主元；为了解决问题，也可人为突出某个量的地位作用，先将其当作主元；其它变元看作常数，来构建函数，再用函数求导知识，结合函数单调性求解．

例2已知函数f(x)=ln(x+1)-x，g(x)=xlnx．设0

分析所证不等式中有两个变量a,b，从中选一个为自变量，另一个看成常数，构造相应函数，通过求解函数最值证明原不等式．

解对g(x)=xlnx求导，g′(x)=lnx+1.

当0

因此F(x)在(0,a)上为减函数.

当x>a时，F′(x)>0，

因此F(x)在(a,+∞)上为增函数.

从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).

因为F(a)=0，b>a，所以F(b)>0，

设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，

当x>0时，G′(x)<0，

因此G(x)在(0，+∞)上为减函数，

因为G(a)=0，b>a，所以G(b)<0.

点评3本题以b为主元构造函数，当然也可以以a为主元构造函数，方法类似，读者不妨一试．视一个变量为主元，其它变量作常量来处理，这是多元不等式证明的一种重要思想．同时，主元策略还表现于主元选择的变通性，选择不同的主元，对于结构不对称的式子能形成不同的解题途径．

4 逆转主元构建函数

解决数学问题时，大多是从条件出发，借助于一些具体的模式和方法，进行正面的、顺向的思考．如果正向思维受阻，那么“顺难则逆、直难则曲、正难则反”．在多元不等式问题中，逆转主元思想常使思考产生新的源泉．

(1)当x>0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立；

(2)有且仅有一个正实数x0，使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．

证明(1)令h(x)=f(x)-gt(x)

即x>0时h(x)≥0.

故当x>0时，f(x)≥gt(x)对任意正实数t成立．

即(x0-2)2(x0+4)≤0，又因为x0>0，

不等式成立的充分必要条件是x0=2.

所以有且仅有一个正实数x0=2，

使得g8(x0)≥gt(x0)对任意正实数t成立．

点评4含参数问题通常含有两个或两个以上变元，习惯上我们把“x”当作自变量．本题第(1)问中的就是以x为自变量构建函数求解，这是常规思路．但对于第(2)问，如果仍把“x”当作自变量，这种思维定势就会把问题变得相当复杂，这时用逆转主元的思想将x与t角色换位，问题迎刃而解．一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．

5 利用结构相似构建函数

有些多元不等式问题，可以通过分离变量，凸显出原不等式隐藏的规律，即左右两边式子的结构特征相似，这时可以构建函数，利用单调性解决．

求实数a的取值范围．

分析对原不等式进行变形，构建函数，利用函数的单调性，进行参变分离，求出a的取值范围．

问题等价于g(x2)

上述问题中m,n位置交错，无法直接构建函数，考虑到是幂指数不等式，尝试两边取对数，发现原不等式变得非常“和谐”．再根据结构特征很容易构建出相应的函数．事实上，这种取对数使函数结构显露出来的方法是处理此类问题非常重要的手段．

6 考虑求导法则构建函数

若题设中出现与导数有关的不等式，则往往是根据导数的运算法则计算后而设计的，所以我们应多从这个角度考虑如何构建函数．根据条件式特征，积极展开联想，借助求导法则，如和差求导、积商求导法则等，恰当构建函数，以便顺利解决目标问题．

例5已知f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)+f(x)≤0．对于任意正数a,b，若a

A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤f(a)

C.af(b)≤bf(a) D.bf(a)≤af(b)

解设g(x)=xf(x)，则g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0(x>0)，那么函数g(x)在(0,+∞)上是减函数(不一定是严格递减)．

因此，当b>a>0时，g(a)≥g(b)，

即af(a)≥bf(b).

又bf(a)≥af(a),bf(b)≥af(b)，

所以bf(a)≥af(b)，正确的选项为C．

点评6本题是利用积的求导法则构建函数．在利用求导法则构建函数时，需要对照题设中的条件，灵活应对．一般来说，有下面的规律：

1.含导数式f′(x)g(x)+f(x)g′(x)可构建函数：F(x)=f(x)g(x)；

3.含导数式f′(x)+f(x)可构建函数：

F(x)=f(x)ex．

4.含导数式f′(x)-f(x)可构建函数：

5.含导数式f′(x)+af(x)可构建函数：

F(x)=f(x)eax．

6.含导数式f′(x)-af(x)可构建函数：

通过上述几个例题可以看出，在求解多元不等式的问题中，我们可以通过类比、联想、抽象、概括等手段，构建出适当的函数，化多元问题为一元问题，并在此基础上利用函数的方法如单调性使原问题获解．它体现了数学中函数、化归转化的思想，其中也渗透着猜想、探究等重要的数学思想．笔者认为这是函数思想解题的高层次体现．