三维灰色绝对关联度的改进模型

刘小妹，柯 林，于俊杰

（九江学院 理学院，江西九江 332005）

0 引言

灰色系统理论自1982年邓聚龙创立以来，已广泛应用于社会的各个领域,灰色关联分析是灰色系统理论研究的出发点，是灰色预测、聚类与决策的基础，其基本思想是根据序列曲线几何形状来判断不同序列之间的联系是否紧密，从而通过比较分析来度量系统多因素之间的关联程度，并对其进行关联排序[1]。

灰色关联分析是灰色系统理论中十分活跃的一个分支，自邓聚龙提出灰色关联分析理论以来，很多学者研究并构造了大量的灰色关联度模型[2-4]。然而现实中系统的行为较为复杂，多种特征相互依存，难以分割，形成多元序列形态。随着数据采集、存储和分析工具的不断完善和发展，以矩阵为表现形式的多维系统特征数据不断涌现[5-8]。目前基于行为矩阵的几何描述方法将灰色关联分析推广到三维空间的模型并不多见[9,10]，具体有三维邓氏关联模型、三维绝对关联模型和体积关联模型。本文针对刘思峰（1991）的三维绝对关联度模型在某些方面的不足，提出一些改进。

1 预备知识

为便于进行关联度性能比较与分析，下面引用部分已有的三维灰色关联度模型。

定义1[1]：设系统行为矩阵为：

X对应的行为曲面为：

Z={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

定义2[1]：设系统行为矩阵为X=(aij)m×n，D为矩阵算子 XD=(aijd)m×n，其中aijd=aij-ai1，则 D称为行为矩阵的始边零化算子，XD称为 X的始边零化像，且记

定义3[1]：设为系统中参考因素的行为矩阵，为系统中 L 个待比较特征因素的行为矩阵，其中：

定 义 4[1]：设 两 个 系 统 行 为 矩 阵为同型矩阵，其始边零化像为，则：

定义 5[9]：设行为矩阵 X=(ai，j)m×n的始边零化像为，记则 称为行为矩阵的局部体积矩阵。

定义 6[9]：设为系统中参考因素的行为矩阵，，k=1，2，…，L 为系统中 L 个待比较特征因素的行为矩阵，局部体积矩阵分别为：

2 新的三维灰色绝对关联度模型及其性质

改进的三维灰色绝对关联度模型的基本思想是：依据行为矩阵之间变化的绝对体积差异来构造一种新的矩阵绝对关联度模型。具体建模如下：

其中三元函数 f(x，y，z)的构造见本定理的证明过程。

证明：这里详细证明ΔSp，由于dxdy

Zp={Ax+By+C|x∈[i，i+1]，y∈[j，j+1]，i=1，2，…，m-1;j=1，2，…，n-1}，其中：

当i+j≤x+y≤i+j+1时，

当i+j+1≤x+y≤i+j+2时，

于是：

这里：

则有：

而

这样就将所有的积分都可以转化为(0，1)区间的积分，大大简化了计算过程。

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界既与x轴上的(0，1)区间相交，也与y轴上的(0，1)区间相交，计算过程如下：

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界仅仅与y轴上的(0，1)区间相交，不与x轴上的(0，1)区间相交，计算过程如下：

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界仅仅与x轴上的(0，1)区间相交，不与y轴上的(0，1)区间相交，计算过程如下：

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界仅仅与y轴上的(0，1)区间相交，不与x轴上的(0，1)区间相交，计算过程及结果同情形（3）。

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界仅仅与x轴上的(0，1)区间相交，不与y轴上的(0，1)区间相交，计算过程及结果同情形（4）。

z=所表示的行为曲面即位于xoy坐标面的上面，也位于xoy坐标面的下面，行为曲面的边界与x轴上的(0，1)区间和y轴上的(0，1)区间均不相交，而与xoy坐标面内的斜边x+y=1相交，计算过程及结果同情形（3）或者情形（4）。

于是，引入三元函数f(x，y，z)如下：

那么有：

类似可证明 ΔSq，Δ(Sp，Sq)。

（1）（规范性，平移不变性）0＜εpq≤1 ；εpq=1⇔Xp=Xq+c

证明 ：从定 义出发，εpq=1⇔Δ(Sp，Sq)=0 ，由 于得到：

即ai，j-ai，1=bi，j-bi，1,ai，j=bi，j+ai，1-bi，1Xp=Xq+c,c=ai，1-bi，1,证毕。

另一方面，由定理1立即得到下列性质：

（2）εpq=εqp

（3）εpq关于Sp单调递增，关于Sq单调递增，关于Δ(Sp，Sq)单调递减。

（4）εpq∈(0.5，1]

3 关联度性能比较

下面通过具体的矩阵数据将现有的一些三维灰色关联度模型和本文提出的三维灰色绝对关联度模型进行性能比较。

设矩阵数据序列如下：

由matlab程序设计计算得到表1：

表1 模型对比结果

从矩阵数据序列看到，X1、X2与X0之间的几何发展趋势并非完全相同，但是原三维绝对关联度值ε01和ε02都等于1，体积关联度值ε02也等于1，这与实际情况不符，出现错误的原因是原三维绝对关联度模型和体积关联度模型都出现了正负抵消的情况，原三维绝对关联度模型不仅在局部上会抵消，在整体上也会出现抵消；而体积关联度模型虽然避免了整体上的抵消情况，但在局部上的抵消情形并未考虑进去。本文的关联度模型则不会出现任何正负抵消的情况，较为真实地反映了矩阵序列之间的关联程度。

4 实例分析

Robot Execution Failure（REF）数据是小规模多元时间序列挖掘中常用的测试数据集，它是采用六个传感器对产生故障的Robot进行15次连续采样得到的状态数据矩阵，该数据分为五个子数据集，每个子数据集包含Robot在不同状态下的若干个数据矩阵。为进行数据矩阵之间的关联性分析，从http://kdd.ics.uci.edu/databases/robotfailure/robotfailure.html中选取数据集作为测试对象。现以第一个子数据集LP1为选取对象，LP1中含88个6×15阶矩阵，分别由21个normal状态、17个collision状态、17个fr-collision状态和33个obstruction状态组成。为体现三维绝对关联度模型的准确性，在选取数据时有针对性地选取，正常状态中选取数据波动明显的行为矩阵，而碰撞状态、前端碰撞状态和阻挡状态中则选择数据相对平稳的行为矩阵。记X0、X1、X2、X3为正常状态对应的数据矩阵，X4为碰撞状态对应的数据矩阵，X5为前端碰撞状态对应的数据矩阵，X6为阻挡状态对应的数据矩阵。且设X0为系统特征行为矩阵，X1、X2、X3、X4、X5、X6为相关因素行为矩阵，现分别计算X1、X2、X3、X4、X5、X6与X0之间的三维灰色绝对关联度值。X0、X1、X2、X3、X4、X5、X6的数据矩阵如下：

由matlab程序设计计算得到表2：

表2 三维绝对关联度对比结果

事实上，正常状态与正常状态之间的关联程度一定要强于正常状态与异常状态之间的关联程度，即X1、X2、X3与X0之间的三维绝对关联度值一定要大于X4、X5、X6与X0之间的三维绝对关联度值，所以本文的三维绝对关联度模型分析结果与样本对应的状态相吻合，较好地区分了正常状态与异常状态。而原三维绝对关联度模型的分析结果则出现了错误，X6为阻挡状态对应的数据矩阵，X0、X3为正常状态对应的数据矩阵，但是ε06却大于ε03，错误原因也是原三维绝对关联度模型在计算过程中出现了正负抵消的情况。

5 结束语

本文根据刘思峰在1991年提出的三维灰色绝对关联度模型，提出了新的三维灰色绝对关联度模型，详细地研究了新模型的算法和性质。本文既保持了刘思峰提出的三维灰色绝对关联度模型的优点，又修正了原模型在处理一类（震荡）矩阵数据时出现与实际不相符的错误情形。最后，通过分析Robot Execution Failure(REF)部分数据矩阵之间的关联关系，说明本文的三维灰色绝对关联度模型能较好地应用于现实影响因素方面的三维关联分析，并且易于在计算机上操作。