“秩”在线性代数中关于分类的应用

曹贻鹏 陆军装甲兵学院基础部

线性代数是代数学中的重要组成部分，矩阵、向量组、线性方程组、二次型等是线性代数研究的重要对象，如何从分类的角度把握这些基本概念是开展线性代数教学应注意的问题。“秩”具有秩序、分类、分组的含义，它是线性代数中的重要概念之一，最早由19世纪德国数学家发现，从“秩”的概念产生之初就在线性代数的研究中起到了重要作用。

一、秩的概念

定义1：设矩阵A为m×n阶矩阵，若在A中存在一个r阶非零子式，且所有的r+1阶子式都为0，则称矩阵A的秩为r，记作R（A）=r。

定义2：设有m维列向量组A，若在A中能选出r个向量a1，a2…ar，满足

（1）向量组A0：a1，a2…ar线性无关，

（2）向量组A中的任意r+1个向量都线性相关,

定理1：矩阵A的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.

定义1、定义2和定理1分别给出了矩阵的秩和向量组的秩的定义，以及这两个秩的关系。

二、“秩”关于分类的应用

1.秩在矩阵中的分类应用

设矩阵A和矩阵B都是m×n阶矩阵集合M中的矩阵，即两者都为同型矩阵，不妨设m≤n。

定理2：若R（A）=R（B）=r，则有

即矩阵A与矩阵B具有相同的标准形.

由定理2的结论可知，若两个同型矩阵具有相同的秩，则这两个矩阵也具有相同的标准型。在所有的m×n阶同型矩阵中，利用矩阵秩R（A）=0，1，2，…，m，可以把矩阵集合M中的元素分为m+1类，秩相同的矩阵等价于相同的标准型，即有相同的基本结构。

2.秩在向量组中的分类应用

设A：α1，α2，…，αn和B：β1，β2，…βl，均为m维列向量组。

定理3：若RA=RB=r，则向量组生成的线性空间同构，即VA≈VB。

由定理3可知，秩相同的两个同维向量组生成的线性空间同构，即在同构意义下两个向量组生成的空间是唯一的，两个向量组具有完全相同的结构。

例，设向量组A：α1=（1,0,0）T，α2=（0,1,0）T，α3=（1,1,0）T和向量组B：β1=（0，1，0）T，β2=（0,0,1）T均为3维向量组.显然，A和B均生成的空间VA和VB均为二维空间，α1，α2和β1，β2分别为两个空间的一组基。

3.秩在方程组中的分类应用

设A为m×n阶矩阵，x为n维未知向量，b为n维非零列向量，Ax=b为n个未知数m个方程的线性方程组，Ax=0为其导出组。

定理4：n元齐次线性方程组Ax=0

（1）方程组只有零解当且仅当R（A）=n；

（2）方程组有无穷解当且仅当R（A）＜n。

定理5：n元非齐次线性方程组Ax=b

（1）无解的充要条件是R（A）＜R（A,b）；

（2）有唯一解的充要条件是R（A）=R（A,b）；

（3）有无穷解的充要条件是R（A）=R（A,b）＜r。

由定理3和定理4可知，相同结构的线性方程组的解的存在性和唯一性均可由线性方程组的系数矩阵及增广矩阵的秩所确定.因此，无论同型的方程组具体为何，只要其系数矩阵及增广矩阵的秩是确定的，则这些方程组均属于一类方程组，具有相同的解的存在性和唯一性。

定理6：设n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R（A）=r，则其解集S的秩Rs=n-r。

定理6的结论说明了齐次线性方程组方程组的结构完全由其系数矩阵的秩所决定，在同构意义下这类线性方程组的解空间是唯一的。

例，解方程组

得解空间分别为

显然，解空间S1和S2的维数都是2，解空间结构相同，在同构的意义下两个方程组本质是一样的。

三、结语

利用秩对线性代数中的代数结构进行分类在教学上具有实际意义。特别是通过横向比较，利用秩对向量组、矩阵和线性方程组等进行分类，可以发现很多问题本质上是同一类问题，这对学生的数学归纳能力是一次很好的锻炼。