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图形相似中的数学思想

2018-12-14胡尊岩

初中生 2018年36期
关键词:平面镜旗杆关系式

文/于 涛 胡尊岩

数学思想是对数学内容进一步提炼和概括,是对数学内容的本质认识.下面把相似中常用的数学思想归纳如下.

一、方程思想

例 1 如图1,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四边形BCFE=16,则S△ABC=( ).

A.16 B.18 C.20 D.24

解析:∵EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,

∵AB=3AE,∴ AE∶AB=1∶3,

∴S△AEF∶S△ABC=1∶9,

设S△AEF=x,

∵S四边形BCFE=16,∴,

图1

解得x=2,∴S△ABC=18. 选B.

二、分类讨论思想

例2如图2,△ABC中,∠ACB=90°,,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C,P为线段A′B′上的动点,以点P为圆心,PA′长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为_____.

解析:如图2,当⊙P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.

图2

设BC=5x,则AB=13x,

∴AB2-BC2=AC2,

(13x)2-(5x)2=122,

∴x=1,

∴AB=13,BC=5.

设PQ=PA′=r,

∵PQ∥CA′,

如图3,当⊙P与AB相切于点T时,易证A′,B′,T共线,

∵△A′BT∽△ABC,

图3

三、数形结合思想

例3为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图4所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED),测得旗杆顶A的仰角为39.3°,平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)

解析:如图4,∵FM//BD,

∴∠FED=∠MFE=45°,

∵∠DEF=∠BEA,∴∠AEB=45°,∴∠FEA=90°,

∵∠FDE=∠ABE=90°,∴△FDE∽△ABE,

图4

在Rt△FEA中,∠AFE=∠MFE+∠MFA=45°+39.3°=84.3°,tan84.3°=,,∴AB=1.8×10.02≈18.

四、转化思想

例4如图5,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为( ).

图5

解析:∵DE∥BC,

选C.

五、函数思想

例 5如图6,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.

(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;

(2)求△BDE的面积S与x之间的函数关系式;

(3)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值,最大值为多少?

解析:(1)∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴当x=2时,S有最大值,且最大值为6.

图6

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