TTI介质弹性波相速度的一般性近似

2018-12-13金世勋印兴耀

石油物探 2018年6期

梁锴,金世勋,印兴耀

(1.中国石油大学(华东)地球科学与技术学院,山东青岛266580;2.海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室,山东青岛266071)

地震波的传播速度是地震勘探中重要参数之一。研究表明,地下介质具有广泛的各向异性特征[1],而各向异性介质中地震波的传播速度受很多因素的影响。随着地震勘探的不断发展以及勘探目标越来越复杂,各向同性的假设条件已经不能满足勘探精度的需求[2]。由于地震波在各向同性介质和各向异性介质中传播时存在差异,所以地震数据的处理、解释和反演等方面需要考虑地下介质的各向异性,否则可能会导致错误的处理和解释结果[3-4]。因此,进行各向异性介质中地震波传播速度的研究具有重要的实际意义[5]。很多国内外学者对各向异性介质中地震波传播特征、速度分析、数值模拟、参数提取和属性分析等方面进行了研究[6-18]。

目前油气勘探的主要勘探目标仍然以沉积岩为主。沉积岩石中各向异性是指在横向各向同性而在纵向上为非均质性,一般称之为横向各向同性(TI)介质,其对称轴垂直于水平面时称为VTI介质,对称轴平行于水平面时称为HTI介质。而在页岩油气勘探中,页岩的各向异性特征也可以用TI介质来刻画[19-24],但是页岩一般具有中强各向异性。在褶皱和逆冲作用下,部分地层发生倾斜时,TI介质的对称轴不再水平或者垂直。当VTI/HTI介质的本构坐标系和观测坐标系不重合时,VTI/HTI介质在观测系统下转变为TTI介质[25]。关于TTI介质的波场传播、偏移成像、速度分析、AVO等方面的研究成果较多[26-35]。但利用Christoffel方程得到的TTI介质的相速度理论精确公式比较复杂,在实际应用中推广比较困难。根据Thomsen理论,地球介质中绝大部分的地层可以近似为弱各向异性介质[36]。梁锴等[25]、吴国忱等[37-39]基于弱各向异性假设提出了精确相速度的近似公式。基于弱各向异性假设的近似公式在各向异性参数值比较小的情况下,可以得到较好的结果。然而,随着勘探目标的不断复杂化,加上页岩油气勘探中页岩的各向异性程度较大,因而弱各向异性近似公式的精度不能满足勘探需要,甚至不再适用。

本文以TTI介质弹性波相速度的精确表达式为出发点,经过Thomsen参数表征后,利用近似的配方法将精确公式内的D项近似表示为两项的平方和,从而实现多项式的开方运算,进一步推导了TTI介质弹性波相速度的一般性近似表达式,并与精确值、弱各向异性近似值进行了对比。一般性近似表达式比精确公式简洁,在一定范围内与精确解吻合较好。

1 TTI介质弹性波相速度

1.1 精确解

TTI介质的刚度矩阵(CTTI)可以由VTI介质刚度矩阵(CVTI)经Bond变换[40]得到,即:

(1)

式中:MθR表示Bond变换矩阵[37];θR表示TTI介质对称轴的极化角。

根据弹性力学的本构方程、几何方程、运动微分方程和TTI介质的刚度矩阵(CTTI),并且忽略体力项,建立TTI介质弹性波波动方程:

(2)

式中:U=(ux,uy,uz)T为位移矢量;ρ为介质密度;t为时间变量;L为偏导数矩阵[37]。

假设平面波解为:

(3)

式中:x=(x,y,z)T为位移矢量;n=(nx,ny,nz)T=(sinθcosφ,sinθsinφ,cosθ)为平面波传播方向,其中θ为传播方向的极化角,φ为传播方向的方位角;v为平面波传播速度(相速度);k=ω/v为波数,其中ω为角频率;P=(px,py,pz)T为平面波偏振方向(在波前满足n·x-vt为常数)。

将平面波解((3)式)代入TTI介质弹性波波动方程((2)式),得到TTI介质Kelvin-Christoffel方程[37-39]。Kelvin-Christoffel方程存在非零解的条件是其系数矩阵行列式为零,求解得到行列式方程的3个根,即为TTI介质的P波,SV波,SH波相速度的精确表达式:

(4)

式中:A=sin2θsin2φ+(sinθcosφcosθR+cosθsinθR)2;B=(cosθcosθR-sinθcosφsinθR)2;D=[(C11-C44)A-(C33-C44)B]2+4(C13+C44)2AB;Cij表示VTI介质的刚度矩阵元素。

1.2 弱各向异性近似

由刚度矩阵元素表示的相速度公式较为复杂,各向异性的度量不直观。THOMSEN提出了一套表征TI介质弹性性质的参数,称为Thomsen参数[36]。因此,VTI介质刚度矩阵的Thomsen参数表征为:

(5e)

(5f)

(5g)

式中:vP0为沿TI介质对称轴方向的纵波速度;vS0为沿TI介质对称轴方向的横波速度;ε为度量准纵波各向异性强度的参数;γ为度量准横波各向异性强度的参数;δ为连接vP和vS的一种过渡性参数;f为用于简化表示的过渡性参数。

将公式(5)代入TTI介质弹性波相速度表达式((4)式)中,并令φ=0,则可以得到XOZ平面内TTI介质弹性波相速度的Thomsen表征,即:

(6)

(7)

将(7)式代入(6)式,得到TTI介质Thomsen弱各向异性近似弹性波相速度:

(8)

(9)式是TTI介质相速度的弱各向异性近似公式的另一种表征[37-39],该形式下弹性波相速度是各向异性参数的线性函数。

1.3 一般性近似

将公式(5)代入TTI介质弹性波相速度表达式((4)式)的D中,并令φ=0,则有:

(10)

(11)

将(11)式代入(10)式,得到:

(12)

将(12)式代入(6)式,整理后得:

(13)

(13)式即为基于近似的配方法推导的TTI介质弹性波相速度的一般性近似表达式。

2 数值算例

2.1 近似项数值测试

为了考察一般性近似((11)式)中关键近似项的近似程度,对精确项:

(14)

和其近似项:

(15)

进行了数值测试。所用模型为一组均匀TTI介质模型,模型中相同参数为vP0=3300m/s,vS0=1905m/s,ρ=2.440×103kg/m3,θR=45°,φ=0,不同的各向异性参数ε和δ如图1所示。

图1 近似项的近似效果(实线表示精确值,虚线表示一般性近似值)

由图1可以看到,近似项在一定精度范围内与精确值吻合较好。当ε=δ,即椭圆各向异性介质时,近似值与精确值相等。如果θR发生变化,则精确值与近似值曲线相应地往右(或左)整体移动,对近似程度不产生影响。

2.2 相速度数值测试

为了比较两种近似的效果,针对上述均匀TTI介质模型,利用TTI介质弹性波相速度的精确表达式((4)式)、弱各向异性近似表达式((8)式)和一般性近似表达式((13)式)计算qP波和qSV波的相速度,结果如图2和图3所示。

图2对比了不同TTI介质模型qP波的精确值、弱各向异性近似值和一般性各向异性近似值。由图2 可以看出,在大多数角度范围内,无论是弱各向异性情况还是中强各向异性情况,一般性各向异性近似值比弱各向异性近似值更接近精确值。弱各向异性近似和一般性各向异性近似均受各向异性参数ε和δ的影响。当ε和δ相等时,公式(4)、公式(8)和公式(13)相等,所以3条速度曲线均重叠。近似效果还受|ε-δ|大小的影响,当ε和δ的差值较小时,一般性近似的近似程度比ε和δ的差值较大时好。

一般性近似的近似效果还受传播方向(θ)的影响,并且沿对称轴方向的近似程度等于垂直对称轴方向的近似程度。

图2 qP波相速度近似效果对比(红线表示精确值,蓝线表示弱各向异性近似,黑线表示一般性各向异性近似;速度单位为km/s)

图3对比了qSV波的精确值、弱各向异性近似值和一般性各向异性近似值。由图3可以看出,与qP波类似,对于TTI介质,qSV波相速度的一般性各向异性近似效果较好,大部分情况下,一般性各向异性近似值要比弱各向异性近似值更接近精确值,并且对中强各向异性参数也能有较好的近似效果。对比图2 和图3可以发现,qP波速度的近似效果更优于qSV波速度。另外,在图3中,当ε=0.1,δ=0.9时,因弱各向异性近似表达式的根号中出现负值,不存在弱各向异性近似值,而一般性各向异性近似值是存在的,这也从另一个角度说明了一般性各向异性近似表达式的适用范围更广。