探究影响抛石机发射距离的因素

谷鲲 北京汇文中学

1.抛石机的历史起源

抛石机与弓、弩都是基于抛射技术的武器装备。弓起源于人类的狩猎活动，在大约3万年前的远古时代就已产生，春秋时期的科技著作《考工记》深刻总结了弓箭的制造工艺技术，至今仍值得我们去研究。弩是在弓的技术上所进行的直接技术改造，它由人力拉弦射箭改为装上箭后由机械力射出，具有更大的威力，弓和弩都是依靠弹性力发射箭矢的。抛石机是一种由人力操纵机械抛射石弹的武器。毫无疑问，弓、弩、砲都是基于抛射技术的发展，是同一种技术的不同发展形式。它们都是利用机械产生的弹力发射箭。矢或石弹，以设计较远距离的目标。从力学和机械角度而言，弓、弩、砲都属于弹射类军事机械，是现代射击武器的鼻祖。

当我们谈到抛石机的起源，不得不提“桔槔”，桔槔是中国民间一种飞常古老的提水装置，最古老的桔槔可追溯至夏商时代。《庄子》记载：“子贡南游于楚，反于晋，过汉阴，见一丈人方将为圃畦，凿隧而入井，抱瓮而出灌，滑滑然用力甚多而见功寡。子贡曰：‘有械于此，一日漫百畦，用力甚寡而见功多，夫子不欲见乎’为圃者仰而视之曰：‘奈何？’曰：‘凿木为机，后重前轻，挈水若抽，数如

汤，其名桔槔。’”据此可见，桔槔是一种简单的机械提水装置，它通常设立在井或沟渠边，由两根木柱支撑着一件横木，一端系重物（或用手拉），另一端悬以水桶，使两端上下运动，这样可以将水桶提至提水者所需的高度。这种装置直至20世纪还广泛应用于民间。

桔槔与抛石机在形状上与技术上都有很大的相似性，都是一根长臂在支点上摆动，利用惯性力提起重物。南朝侯景判断时，侯景军：“又于船上置木桔槔，聚茅置火，以烧水栅。”就是用木桔槔装置来发射点燃的茅草进行火攻。这充分说明桔槔与抛石机在技术上的共性。因此，抛石机在技术上的直接起源就是桔槔。

2.抛石机的力学原理

在讨论抛石机的力学原理前，我们首先要明确抛石机的分类。

根据动力来源不同，抛石机大致可以分为3大类：

2.1 人力机

人力机也叫“炮”，它指的是在古代中国出现的人力抛石机。工作方式为多人一同拉下杠杆的一边抛射另一边的石弹。炮同时也是中文中对所有种类投石机的泛称。附有轮子的通常称行炮车。

中国的抛石机最早出现于战国时期，是纯利用人力的人力抛石机。采用人力在远离投石器的地方一齐牵拉连在横杆上的梢（炮梢）。炮梢架在木架上，一端用绳索栓住容纳石弹的皮套，另一端系以许多条绳索让人力拉拽而将石弹抛出，炮梢分单梢和多梢，最多的有七个炮梢装在一个炮架过，需250人施放。据史料记载，唐朝与高句丽作战时使用的抛车能抛出300多斤的石料，对高句丽的木制城栅造成重创。

2.2 扭力机

扭力抛石机，其中文名称又有石弩（义即发射石弹之弩）、投石车、弹射器或弩炮。在古希腊、古罗马时扭力抛石机即在使用，其依靠扭绞绳索产生力量弹射。弹射杆平时是直立的，杆的顶端是装弹丸的“勺子”或皮弹袋，杆的下端插在一根扭绞得很紧的水平绳索里。弹射时，先用绞盘将弹射杆拉至接近水平的位置，在“勺子”或皮弹袋里放进弹丸。松开绞盘绳索时，弹射杆恢复到垂直位置将弹丸射出。这种投石机发射时很像驴子再踢腿，所以被称为“Onager（野驴）”。

2.3 配重机

配重机即重力抛石机、配重式投石机或重型投石车，这是出现在欧洲中世纪的一种投石机，也是最大型的投石机。其利用杠杆原理，一端装有重物，而另一端装有待发射的石弹，发射前须先将放置弹药的一端用绞盘、滑轮或直接用人力拉下，而附有重物的另一端也在此时上升，放好石弹后放开或砍断绳索，让重物的一端落下，石弹也顺势抛出，此种抛石机经由伊斯兰地区传入中国而被称作“回回炮”。到了14世纪中期，有的抛石机能抛射将近1000磅（约454公斤）重的弹体，威力巨大。近代试验表明，吊杆长50英尺（约15.2米），平衡重锤为10吨的抛石机能将200到300磅（约90-136公斤）的石弹抛射约300码（约274米）的距离。虽然3种抛石机的形式不尽相同，但目标均为令抛石端获得较大初速度以追求更远的抛射距离，为了方便计算与分析，这里我们主要讨论较易进行变量控制的配重机作为典型来研究。对于抛石机的原理，总结到根源便是：杠杆原理。

抛石机由底座和抛石杠杆两部分组成，抛石杠杆是整个抛石机的核心部分。杠杆的支撑点不在中心，而是在杠杆的1/8或1/9处，是一个费力杠杆，配重物悬挂的一侧为动力臂，相对较短；另一侧悬挂抛掷物，为阻力臂。发射时，配重物抬高到一定的位置，抛掷物则置于较低位置，释放后，配重物受重力作用向下运动，重力势能减少并转化为动能和抛掷物的重力势能，同时克服摩擦做功与装置的振动能量。理想情况下，杠杆比数越大，用的力量和达到的速度就越大，相对的石头的重量就越小。

其物理计算部分可以大致分为：

①动力学阶段如果是弹射，考虑动量守恒 p'=p 就够了；如果是转动抛，考虑转距力分析(较复杂)。②运动学阶段把初始V分成Vx和Vy,水平假设空气阻力小，f=kv^2,竖直方向g=9.8m/s^2 。联立分析可以得到结果。

设杠杆长为L，配重物一端的动力臂长为x，抛掷物一端的长是动力臂的n倍，则阻力臂长为nx（单位均为m），x=L/(n+1)。

不妨设配重物降低到最低时，杠杆与地面呈α度。设配重物质量为M,抛射物质量为m，则配重物下降减少的重力势能为Mg（x+xsinα°）＝(1+sinα°)Mgx＝(1+sinα°)MgL/（1+n）。

增加的能量(即抛出石弹时较准备时多出的能量)有：配重物的动能Mv2/2；抛掷物的动能和重力势能mgn（x+xsinα°）+ mn2 v2/2＝(1+sinα°)mgLn/（1+n）+mn2 v2/2；

由于动力臂与阻力臂一升一降，杆势能变化不大，可忽略。转动能量，设杆的角速度为ω，则杆的转动能量可用下述公式表示：Iω2/2 ，I为转动惯量，对于绕一端端点转动的杆，转动惯量I＝ml2/3。设动力臂质量为m2，阻力臂质量为m3，则动力臂转动能量约为m2x2v2/6x2，阻力臂转动能量则为m3(nx)2v2/6x2。

机械装置能量的损耗主要是摩擦与振动。设转动轴承的摩擦因数为μ，则摩擦力矩为μ(M+m+m2+m3)D/2，这里D为滑轮直径，计算可得该摩擦力矩很小，可用经验系数0.97-0.99来代替。配重物在下降过程中做圆周运动，根据使用的材料不同会有不同的振动耗能，设损耗系数为β(即损耗后为原来能量的β倍)，则配重物下降带来的重力势能能用来做功的部分为(1+sinα°)MgLβ/（1+n）。

将两端联立可得：

(1+sinα°)MgLβ/（1+n）=Mv2/2+(1+sinα°)mgLn/（1+n）+mn2 v2/2+m2x2v2/6x2+m3(nx)2v2/6x2

得 到 v2=[(1+sinα °)MgLβ/(1+n)-(1+sinα °)mgLn/（1+n）]/[(M/2)+mn2 /2+m2x2/6x2+m3(nx)2/6x2]

上式便为物理模型中抛石机杠杆部分的工作原理。

在抛石杠杆与石弹脱离时刻之后，石弹经历的是一个斜抛过程，同样可以通过物理模型来实现。

设斜抛物运动的发射角为B，则水平速度为vcosB，竖直速度为vsinB，设抛出时的最高点距离地面y0，则

y0=vsinBt-gt2/2

x=vcosBt

解得x=v-(y0+gt2/2)2/v，即为石弹被抛出的距离。

3.影响抛石机发射距离的因素

由第二部分得到的两个公式：

v2=[(1+sinα°)MgLβ/(1+n)-(1+sinα°)mgLn/（1+n）]/[(M/2)+mn2 /2+m2x2/6x2+m3(nx)2/6x2]

x=v-(y0+gt2/2)2/v

我们可以比较直观的分析影响抛石机发射距离的因素。

由式2可以看出：

①当石弹的抛出速度v越大；②当抛出时离地面距离y越高；抛出距离越远。

再看式1，可以得到：

①当杠杆与地面角度α越接近90°；②配重物质量M越重；③石弹质量m越轻；④杠杆长度L越长；⑤杠杆投射端与配重端比例n越大；获得的抛出速度越大，投射距离越远。

4.抛石机的仿真实现

为了更好的去除制造因素等额外因素带来的影响，我选择使用Matlab对抛石机进行建模，来达到理论上的仿真，验证第三部分通过对物理模型分析得出的结论。

抛出后石弹轨迹图

射程与抛射角、初速度的关系可以看到，在忽略其他因素影响的情况下（即理想情况），模拟结果与第三部分分析结果吻合。在后续的研究过程中，还可以考虑加入摩擦、空气阻力带来的损耗。

5.总结

本研究性学习从抛石机的历史起源出发，研究了其演进过程及工作机理，以配重式抛石机为典型建立了力学模型并详细计算了其力学过程，分析了影响其射程的各个因素以及影响趋势，并通过数学建模的方式对分析结果进行了验证。通过本研究性学习，对抛石机的物理属性有了较为充分的认识。后续还可以进行更为贴近现实的实验，如加入对弹丸形状与空气阻力带来的影响等等。