数学模型的内涵特质、表征方式及其建构运用

汪岑楚

摘 要：数学模型是数学的基本思想方法，也是学生数学核心素养的重要组成。小学阶段的数学模型具有多种表征方式如公式模型、方程模型、集合模型和函数模型等。数学模型教学既包括数学模型的积极建构，也包括数学模型的灵活运用。只有让学生经历从实际问题到数学模型建构再到数学模型解释和运用的全过程，才能赋予学生数学生命自然生长的力量。

关键词：数学模型；模型表征；模型建构；模型运用

模型思想是数学的基本数学思想方法。东北师范大学史宁中教授认为，学生的数学核心素养主要就是抽象、推理与模型。作为一种基本数学思想方法，数学模型在数学教学中的价值和意义是毋庸置疑的。从数学模型的视角看，学生数学学习的过程就是不断地建构数学模型、运用数学模型的过程。因此，在数学教学中，教师要把握学生数学模型的建构起点，引导学生经历数学建模的过程，促进学生数学模型的运用。

一、数学模型：内涵特质与表征方式

所谓“数学模型”，是指用数学语言和方法对各种实际对象做出抽象、概括等数学化提炼而形成的一种数学结构。研究表明，建构数学模型一般分为三步：一是从问题情境中发现数学问题，并用数学语言进行描述、表达；二是分析数量关系并进行数学化抽象、概括，建构数学结构；三是运用数学模型对实际问题进行求解。广义地说，一切数学概念、公式、定理等都是数学模型；狭义地讲，只有反映特定问题、事物系统的数学关系结构才是数学模型。在中小学阶段，数学模型主要有这样一些表征方式：公式模型、方程（组）模型、集合模型和函数模型等。

1. 公式模型

数学的公式模型是反映现实世界数量关系和空间形式的符号，是从现实世界中抽象、概括出来的。由于数学公式模型是一种数学化的刻画，因而它舍弃了事物的非本质数学属性，而反映了数学的本质属性。小学阶段的公式模型主要包括几何形体周长、面积、体积公式模型以及基本数量关系的公式模型。比如反映速度、时间和路程之间的关系模型“s=vt”；长方形的面积公式模型“S=ab”；加法交换律的运算模型“a+b=b+a”，等等。

2. 方程（组）模型

方程（组）模型是研究数量关系的基本模型。方程常常是解决数学问题的通则通法，从这个意义上说，方程是一种好的数学模型。在小学数学中，方程模型主要有两种，其一是形如ax+b=c的模型；其二是形如ax+bx=c的模型。在运用方程模型进行问题解决的过程中，关键是针对问题，设定合适的未知数，构建合适的方程模型，从而解决实际问题。一般而言，方程模型的优越性体现在方程中的未知数可以和已知数平等地参与运算，从而降低了解决实际问题的难度。

3. 集合模型

集合同样是一种数学模型。小学数学中的集合模型涉及交集、并集等。比如加法就是最简单的并集。2个小方块与3个小方块合并起来，是多少个小方块？在这里，2个小方块与3个小方块就是不相交的有限集合A和B合并成的并集C，抽象成数学表达式就是“2+3=5”。事实上，在数学中，只要是2个元素集与3个同类元素集，就可以进行合并，就可以用“2+3=5”来合并。从这个意义上说，数学模型是具有普适性意义和价值的。

4. 函数模型

在小学数学中，还有一类刻画变量和定量之间的关系模型，这就是函数模型。函数模型主要有正比例关系的函数模型“y=kx”和反比例关系的函数模型“y÷x=k”等。在教学中，教师要结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，用正反比例函数模型解决一般问题。通过函数模型，让学生感受函数的函变思想。

除此而外，在小学数学中，还有一些几何模型、统计模型等。数学模型是从实际生产、生活中诞生的，因此也必须服务于实际的生产生活。小学数学中加强建模教学，能够培养学生的数学应用意识、巩固学生的数学思想方法，培养学生运用数学模型解决实际问题的能力及其创新意识。

二、数学模型：积极建构与灵活运用

小学阶段的数学模型教学主要包括两个层面的内容：一是数学模型的积极建构；二是数学模型的灵活应用。在数学教学中，教师要把握学生数学建模的起点，引领学生经历数学建模的过程，促进学生数学建模的灵活运用。

1. 从“境”到“模”，引领学生数学模型的积极建构

关于数学建模，国内数学学者提出了各种不同的观点，但都大體上将数学建模分为三个阶段，一是创设情境，提出问题；二是数学猜想，假设模型；三是数学验证，形成模型。也就是从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题或者数学事实，然后用数学语言来进行刻画、描述或者表征。在这个过程中，教师要延长从“境”到“模”的过程，让学生充分地体验、抽象、归纳。

（1）抽丝剥茧，引领从生活到数学的抽象。对于小学生而言，数学建模的过程首先应当基于生活，引导学生从生活世界到数学世界的横向数学化。这个过程是从具体、形象的生活到数学的抽象的提炼过程。比如苏教版小学数学三年级上册的《间隔排列》，教材中出现一些静态的素材如木桩和篱笆、兔子与蘑菇、镊子与手帕等。教学中，教师还可以让学生借助学具进行操作，不仅让学生从视觉感官上，而且通过学生的动作操作积累丰富的活动表象，引导学生逐渐从动作思维向形象思维以及抽象逻辑思维过渡。通过这样的纵向数学化过程，形成学生对间隔排列的本质性认识，建构数学模型——“a=b+1”和“a=b”。这里，重要的是学生对“1”的深度理解。

（2）作茧自缚，引领从数学到数学的抽象。数学建模的过程不仅仅包括横向数学化（即从生活到数学的抽象），而且包括纵向数学化（即从数学到数学的抽象）。作茧自缚，可以理解为在数学世界里的符号生成、重塑和被使用。弗赖登塔尔认为，数学的结论通常在高一层学习中又被作为常识和基础，这些结论会再一次被组织、提炼，而凝聚成新的法则。比如教学《直柱体的体积》（苏教版数学六年级下册），这是学生在掌握了长方体的体积模型V=a×b×h、正方体的体积模型V=a×a×a、圆柱体的体积模型V=π×r×r×h后对直柱体体积公式的梳理与学习感悟。通过公式以及特征比较，学生能够建构出新的数学模型“V=Sh”，并用这个新的数学模型去建构三棱柱、钢管等形体的体积计算问题。

学生从生活向数学过渡的模型建构过程是生动的，教学中，教师可以多提供一些生活化的素材，助推学生的模型建构。因为数学模型的建构并不是针对某一个数学问题的，而是对某一类数学问题的分析、归纳、抽象与概括。教师可以实施多“境”成“型”的教学活动，以便让学生对数学模型进行充分的抽象、概括与归纳。

2. 从“模”到“境”，引领学生数学模型的灵活运用

建构数学模型并不是数学教学的终极目的，数学模型的价值指向运用。从“境”到“模”是将思维模型转化为形式模型，而从“模”到“境”则是再次将形式模型转化成思维模型。只有在不断地运用中，静态的数学模型才转化为动态的思维运用。一般而言，数学模型的运用有两个层次，其一是基础性运用层次，其二是拓展性运用层次。无论是基础性运用层次还是拓展性运用层次，都需要学生进行灵活地辨析。

（1）化蛹成蝶，数学模型的基础性运用。在数学教学中，当学生掌握了相关的基本的数学模型之后，就需要学生将数学模型简单地运用到数学问题情境之中去。数学模型的基础性运用的过程是学生熟悉数学模型、亲近数学模型的过程。因此这个过程也就是学生深度体验数学模型价值与意义的过程。比如教学《平行四边形的面积》（苏教版小学数学五年级上册）后，教师可以出示一些平行四边形图形，给定底和高，让学生直接运用数学模型计算面积。同时，也可以出示平行四边形的底和高，让学生运用数学模型计算面积并尝试在方格纸上画出平行四边形。不仅如此，教师还可以进行知识融合，比如画出平行四边形图形，并且标示出平行四边形的两个底边的长度如4厘米和7厘米，并且给出平行四边形的高是5厘米的条件，助推学生展开深度的数学思考：这条高是哪一条底边上的高呢？在此，将直角三角形直角边和斜边的知识与平行四边形的面积公式模型融通起来，学生的数学思维得到深度拓展。数学模型的基础性运用是对数学模型的认知强化。

（2）蝶飞蜂舞，数学模型的拓展性运用。数学模型的拓展性运用是学生是否深度理解、掌握数学模型的试金石，也是数学模型学习的高级层阶，因此这个过程需要教师的适度点拨与引领。蝶飞蜂舞体现的是数学模型运用的自主与自由境界。比如教学苏教版小学数学六年级上册的《稍复杂的分数除法应用题》，有这样的一道习题：一段路程，甲车单独行完全程需要4小时，乙车单独行完全程需要5小时。现两车同时从两地相对开出，经过多长时间两车相遇？乍看起来，这是一道行程问题。但这道题中的路程却是一个未知量，因此不适合直接运用行程问题的数学模型解决问题。深度解读习题，不难发現，可以设定全程为单位“1”。这样，原本行程问题就被转换成了工程问题，用运用工程问题的数学模型可以直接解决。原题相当于“甲、乙共同完成一项工程，甲单独完成需要4小时，乙单独完成需要5小时，甲、乙合作需要多长时间？”数学模型的变式性、创造性运用充分体现了数学模型的灵活性。拓展性数学模型的运用，提高了学生灵活运用数学模型、解构数学模型、化用数学模型的能力。

数学模型的运用要求学生在面对数学问题时，能够根据问题的特质，灵活地辨别、选择。学生掌握数学模型思想，不仅仅是经历数学模型的建构过程，而且是能够运用数学模型解决实际的数学问题，这是数学模型的价值和意义指向。

数学模型是数学思想方法中的一个重要组成部分。在数学教学中，数学模型的建构是一个逐步抽象、概括和提炼的过程。数学模型的运用是一个从形式模型到思维模型的认知强化和灵活变通过程。学生经历从具体问题到类比推理，再到建立模型、解释模型的全过程，就能够收获自主建模的硕果，从而赋予自我数学生命不断生长的力量。