海上机动目标正态概略航向下的位置散布规律研究*

侯学隆,王宗杰,姜青山

(海军航空大学，山东 烟台 264001)

现代反舰作战，为了充分发挥中远程反舰导弹的射程优势，基于远程目标指示信息的超视距导弹攻击已成为基本作战模式[1]。在中远程反舰导弹攻击目标捕选决策中，基于稳妥的战术原则考虑，通常假设目标航向分布在2π范围内来估计最大散布范围[2-3]，将射击瞄准点定格在目标指示点，并以导弹开机覆盖目标最大散布圆来计算末制导雷达搜索扇面角、搜索远近界及开机距离等射击参数[4-5]。

水面舰艇海上航行通常以遂行作战任务为牵引，机动航向带有鲜明的指向性，在2π角度范围内随意掉头机动的可能性非常小[6-7]。在侦察预警兵力给出目标概略航向信息的情况下，如果反舰导弹仍采用现在点方式对概略航向机动目标射击，将会无形中扩大目标散布区，进而浪费导弹搜索资源、降低导弹射击距离。着眼反舰导弹精准射击的战术需求，需要解决两个问题：一是如何确定反舰导弹对概略航向机动目标的射击瞄准点；二是如何确定末制导雷达搜索覆盖的重点区域。以上两个问题的解决关键在于确定目标的位置散布规律。

围绕机动目标散布问题，文献[8]研究了不同类型信息源条件下的目标初始位置散布概率密度；文献[9-10]研究了4个随机变量均服从零均值正态分布情况下的位置散布概率密度，其主要思想是基于泰勒公式将目标位置进行线性化处理，利用随机变量的互不相关性求取近似概率密度；文献[11]在目标初始位置及运动要素服从正态分布的情况下，假定目标机动后的位置散布概率密度服从二维正态分布，根据极限误差理论研究了均方差的求取方法；文献[12-14]在假设目标航向服从U(0,2π)、目标背离初始散布中心作径向机动的情况下，建立极坐标系下的位置散布概率密度模型；文献[15]转而采用蒙特卡洛方法获得组合散布的图形化认识或进行假设检验，力求找到一种符合这种散布规律的近似分布模型，但这一点很难在工程上实现。

以上研究成果具有以下特点：文献[9-11]所采取的建模方法只有在各随机变量服从正态分布时才适用，求取的目标位置散布概率密度模型是近似模型；文献[12-14]构建的散布模型在初始散布中心附近区域出现概率密度为零的“空心区”，这与实际情况有一定偏差。此外，对于概略航向机动目标散布模型，目前尚未见到相关针对性的公开研究成果。为此，本文重点研究海上机动目标概略航向下的位置散布概率密度及其性质，通过散布规律的仿真分析来确定射击瞄准点的选择依据及末制导雷达的重点搜索覆盖区域。

1 海上机动目标正态概略航向下的位置散布概率密度

1.1 基本假设

为方便模型构建，作如下假设：

1)侦察预警兵力对海上机动目标定位的均方差为σmz(σmz.>0)、系统误差为零，即目标初始位置散布服从二维正态圆分布、目标初始位置散布中心点位于目标定位点。

2)侦察预警兵力观测的概略航向信息包括两个：一是目标航向角分布范围ΔC，ΔC∈(0,π)；二是主航向角Cc，为航向分布范围的角平分线与正北之间的夹角，Cc∈[0,2π]。

定义目标运动矢量与正北之间的夹角为目标航向角，记为c，c位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定义的区间。显然，c为随机变量，假设观测误差服从零均值的正态分布[9-11,16-17]。显然，Cc为航向角散布中心。

3)目标机动时间t以侦察预警兵力获取目标定位信息时刻为零点计算。在反舰导弹对海上机动目标射击时，该时间主要与目标指示信息老化时间tlh和反舰导弹的自控飞行时间tzk有关[18]，即：t=tlh+tzk。

4)目标在机动时间t内航速、航向保持不变；设目标运动速率为v，则v为确定性变量。

在上述假设条件下，海上机动目标概略航向下位置散布的基本含义是：在初始位置散布服从系统误差为零的正态圆分布(Circular Normal Distribution，CND)下，目标以确定速度(Certain Speed，CS)和正态概略航向(Approximate Course under Normal Distribution，ACND)机动一段时间后引起的位置散布。为方便书写和描述，将该散布简写为“CND-CS-ACND散布”。

在CND-CS-ACND散布中，目标将以初始位置散布点为基准，在[-ΔC/2,ΔC/2]内任意方向机动，如图1(a)所示。这与目标背离初始散布中心作径向机动是有区别的，如图1(b)所示。以目标背离初始散布中心作径向机动为假设条件[12-14]来建立CND-CS-ACND散布模型将存在一定误差。为此，本文按图1(a)所示原理建立目标机动后的概率密度。

1.2 目标初始位置散布概率密度

根据CND-CS-ACND散布的基本内涵，侦察预警兵力对海上目标定位服从正态圆分布，定位系统误差为零。以目标定位点为原点建立OXY直角坐标系，其中OX轴与航向分布范围的角平分线平行且同向(即指向Cc方向)，OY轴符合右手定则，如图1所示。则目标初始位置M(xmb0,ymb0)的概率密度为[19]

(1)

1.3 目标航向散布概率密度

根据一维正态分布“3σ”原则，目标航向角c落入“|c-Cc|≤ΔC/2”所定义区间的概率99.73%。则目标航向的数学期望μc和均方差σc可近似为

(2)

考虑到目标航向角位于“|c-Cc|≤ΔC/2”所定义的区间，不可能趋于负无穷或正无穷，建立航向角截断正态分布(Truncated Normal Distribution, TND)模型[20-21]，即

(3)

定义目标航向偏离主航向的角度为航向差角，记为α，顺时针为正，逆时针为负，α∈[-ΔC/2,ΔC/2]，则

α=Cc-c

(4)

将式(4)代入式(3)，可得航向差角的概率密度fα1(α)为

(5)

式中，α∈[-ΔC/2,ΔC/2]。

1.4 目标机动后的CND-CS-ACND散布概率密度

CND-CS-ACND散布中，目标将以任意一个初始位置散布点为基准，在[-ΔC/2,ΔC/2]内任意方向机动，如图1所示。设目标以恒定速度v从初始散布位置M(xmb0,ymb0)开始机动，t时间后到达位置P(xmb,ymb)，则

(6)

式中：α∈[-ΔC/2,ΔC/2]；d为目标机动距离；v、t的含义见1.1。

由上式可知，P(xmb,ymb)为二维随机变量。结合式(6)和式(1)，在目标航向差角α与初始散布位置独立时，则在给定α的条件下，位置点P(xmb,ymb)的条件概率密度k(x,y|α)为[22]

(7)

由条件概率密度及随机变量α的概率密度，可得随机变量(xmb,ymb,α)的联合概率密度k(x,y,α)为

(8)

对k(x,y,α)在α维度积分可得P(xmb,ymb)的边缘概率密度g(x,y)为

(9)

式中，x∈(-∞,+∞)，y∈(-∞,+∞)。上式即为海上机动目标正态概略航向下的位置散布概率密度表达式，仅与σmz、ΔC、v、t参数有关，给定任意x、y时，可求出概率密度的数值解。

2 CND-CS-ACND散布概率密度的性质

性质 对于任意的x、y∈(-∞,+∞)，有：g(x,y)=g(x, -y)。

证明：

令h(α)=k(x,y,α)，将x=rcosθ、y=rsinθ、fα1(c)代入k(x,y,α)中，可得：

h(α)=Mexp[Pcos(α-θ)+Qα2]

在图1所示的OXY坐标系下，设A、B两点关于ox轴对称，A点的坐标为(xa,ya)，B的坐标为(xb,yb)。令xa=rcosγ、ya=rsinγ，则B的坐标为xb=rcos(-γ)，yb=rsin(-γ)。将A、B两点的坐标分别代入h(α)中，可得

Q=-18α2/(ΔC)2

hA(α)=Mexp[Pcos(α-γ)+Qα2]

hB(α)=Mexp[Pcos(α+γ)+Qα2]

A点的概率密度为

令α=t+γ，可得

令kA(t)=hA(t+γ)，可得

kA(t)=Mexp[Pcost+Q(t+γ)2]

B点的概率密度为：

令α=t-γ，可得：

令kB(t)=hB(t-γ)，可得

kB(t)=Mexp[Pcost+Q(t-γ)2]

由kA(t)、kB(t)的表达式可知：kA(t)=kB(-t)，kA(-t)=kB(t)。因此

由于A、B关于ox轴对称，因此有：g(x,y)=g(x, -y)。即CND-CS-ACND散布在直角坐标系下的概率密度关于航向分布范围的角平分线对称。

证毕。

3 给定概率下的CND-CS-ACND散布圆的确定方法

中远程反舰导弹对水面目标射击时，常用散布圆表征目标可能位置域，并依据该圆解算末制导雷达角度搜索范围、距离搜索范围及开机距离等参数[23-26]。散布圆的确定实际上就是在给定目标落入圆形区域概率的前提下，求解散布圆半径。

在目标以正态概略航向机动的情况下，散布圆的圆心已偏离初始位置散布中心，不妨设散布圆圆心为(xk,yk)。假设散布圆半径为R、目标落入此圆的概率为P*，则P*的计算公式为

(10)

式中，r为以散布圆为基准点的极径；P*∈(0,1)；g(u,v)表达式见式(9)。当yk为零(即圆心位于ox轴)时，根据CND-CS-ACND的对称特性，可将上式简化为：

(11)

利用上式可将积分计算量减少一半。根据P*值，可以确定一个唯一的R，即：

P*=f(x*)

(12)

式中，x*为待求解的R，f为式(10)或式(11)所示的积分函数。

考虑到式(12)不能通过给定概率P*直接求取x*，文中采用二分法[27]迭代逼近x*。

1)确定初始迭代区间[x1，x2]

为了较为精准定位P*所对应x*的初始迭代区间[x1，x2]，以式(12)所示的积分区域建立滑动轴OX，以给定的Δx作为“滑动窗”向OX轴右侧滑动，每次滑动Δx并计算目标落入“滑动窗”左、右边界概率P1、P2，并与P*比较，直到P1≤P*≤P2为止，此时便可确定初始迭代区间[x1，x2]，如图2所示。

理论上讲，“滑动窗”长度Δx越小，初始迭代区间[x1，x2]越准确，后续计算x*的迭代次数越小。

2)优化P1、P2的计算

为了提高计算效率，避免每次迭代计算P1、P2时积分下限总是从零开始，基于概率累加特性来减小积分计算量。

对于圆形散布区域，当x1、x2∈[0,+∞)，x1≤x2时，令P1=f(x1)、P2=f(x2)，有

(13)

Int(x1→x2)表示的积分区域如图3中的阴影“环带”所示。

在图3中，Int(x1→x2)的计算方法为：

Int(x1→x2)=

(14)

由式(13)、(14)可知，在迭代计算P1、P2时可有效利用前续计算结果，可大幅减小计算量。

基于以上考虑，设计了散布圆半径迭代计算流程，如图4所示。

4 CND-CS-ACND散布规律仿真计算分析

计算条件：1)侦察预警兵力对目标定位均方差σmz=4km；2)目标航向分布范围ΔC分别为2π/3、π/4、π/16，主航向角Cc均为零；3)目标机动距离d=vt=20km。计算结果如图5(a)～(c)所示。

对数据及图形特征进行分析，有：

1)在直角坐标系下，CND-CS-ACND散布的概率密度关于过航向分布范围角平分线的垂面对称，这从侧面验证了前文所述性质的正确性。

2)航向分布范围ΔC对散布区域具有显著的影响，ΔC越小，高概率密度区域越集中，目标散布区域越小。如果能利用各种可能的先验知识及战场态势尽量缩小目标航向分布范围，可以大幅减小目标散布区域。

3)CND-CS-ACND散布的概率密度最大值只有一个，位于航向分布范围角平分线上。设其位置为(dnd,0)，dnd的计算结果如表1所示。

表1 最大概率密度取值点计算结果

由表1可知，当ΔC越小，dnd越趋近于d，但始终小于d。利用此结论，将坐标由(d,0)向(0,0)方向滑动，可通过程序快速求取最大概率密度的取值点。该取值点周边区域目标出现的可能性最大。因此，该点可作为反舰导弹的射击瞄准点。

4)以最大概率密度取值点(dnd,0)为圆心，逐步向周边扩散，累加区域概率，直到概率达到给定要求时，停止计算，此时便可计算出给定概率下的散布圆。该散布圆就是目标高概率密度出现区域，反舰导弹的末制导雷达搜索区应重点覆盖此区域。

以目标落入散布圆概率99.00%作为依据，对CND-CS-ACND散布在不同航向分布范围下的散布圆半径Rg计算结果如表2所示。显然，该散布区域小于现在点射击时以目标指示点为圆心的散布圆Rq(目标落入概率为99.00%时，按文献[28]反算得29.64 km)，可大大减小末制导雷达的角度、距离搜索范围，对隐蔽搜索、多目标选择极为有利。

表2 以(dnd,0)为原点的散布圆半径

5 结束语

推导了初始位置服从正态圆分布、以确定速度和正态概略航向机动下的CND-CS-ACND散布概率密度模型，研究该散布的性质特征，得出以下结论：

1)采用“先条件→再联合→后边缘”的方法建立了海上机动目标正态概略航向下的位置散布概率密度模型，为目标散布区求解奠定了模型基础。相对文献[9-11]，该方法构建的位置散布模型是精确解析模型，而不是近似模型；相对文献[12-14]，该方法具有更好的普适性，可推广应用于不同初始位置、航向、速度散布组合情况下的散布模型构建。

2)在直角坐标系下，CND-CS-ACND散布的概率密度关于过航向分布范围角平分线的垂面对称。利用此结论，可以将目标落入对称散布区域概率的积分计算量减少一半。

3)CND-CS-ACND散布的最大概率密度取值点只有一个，位于航向分布范围的角平分线上。取值点与原点的距离接近d，但始终小于d。在σmz、d相同的情况下，ΔC越小，取值点与原点的距离越逼近d。以d作为起始点，可通过程序快速求取该取值点。

4)在侦察预警兵力给出概略航向的情况下，反舰导弹采用现在点射击并不是很好的选择，一种更好的方法是采取准前置点射击，即射击瞄准点选择在CND-CS-ACND最大概率密度取值点，末制导雷达重点搜索覆盖区选择在以该取值点为中心的散布圆上。

以上研究内容较好地解决了正态概略航向下反舰导弹射击瞄准点及搜索覆盖区的选择问题，为反舰导弹精准射击提供了理论依据。此外，该模型在航空搜潜，无人机、侦察卫星对海搜索区域预测等方面也具有一定的应用价值。下一步将基于CND-CS-ACND散布规律研究不确定航速下的稳妥散布区计算方法。