归纳、类比、演绎推理问题求解策略

2018-12-01高慧明

广东教育·高中 2018年9期

高慧明

推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，它包括合情推理与演绎推理，合情推理又包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，由部分到整体、归纳推理由个别到一般的推理类比；推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理；演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论. 演绎推理是由一般到特殊的推理. 高考中归纳推理和类比推理常以客观题形式出现，演绎推理常和其他知识交汇，以解答题形式出现.

一、归纳推理的求解策略

所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式.它由推理的前提和结论两部分构成：前提是若干已知的个别事实，是个别或特殊的判断、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判断.其思维模式是：设Mi（i=1，2，…，n）是要研究对象M的特例或子集，若Mi（i=1，2，…，n）具有性质P，则由此猜想M也可能具有性质P.

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，对于完全归纳法，由于它穷尽了被研究对象的一切特例，因而结论是正确可靠的.完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法. 由于不完全归纳法没有穷尽全部被研究的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例.

（1）归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

②从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.

（2）归纳推理是一种重要的思维方法，但结果的正确性还需进一步证明，一般地，考查的个体越多，归纳的结论可靠性越大. 因此在进行归纳推理时，当规律不明显时，要尽可能多地分析特殊情况，由此发现其中的规律，从而获得一般结论.

（3）归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题.高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：①数值的归纳；②代数式的归纳；③图形的归纳.

例1. 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…依此规律得到n级分形图.

n级分形图中共有________条线段.

【分析】分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3=（3×2-3）条线段，二级分形图有9=（3×22-3）条线段，三级分形图中有21=（3×23-3）条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an=（3×2n-3）（n∈N*）.

【点评】（1）归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围；（2）归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的；（3）归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用.

例2. 观察下列等式：1 3=12，1 3+2 3=32，1 3+2 3+33=62，1 3+2 3+33+43=102，…根据上述规律，第n个等式为 .

【分析】因为1 3=12，1 3+2 3=（1+2）2，1 3+2 3+33=（1+2+3）2，1 3+2 3+33+43=（1+2+3+4）2，…由以上可以看出左边是连续的自然数的立方和，右边是左边的数的和的立方，照此规律，第n个等式可为：

1 3+2 3+33+43+…+n3=（1+2+3+…+n）2=[ ] 2，所以答案应为1 3+2 3+33+43+…+n3=[ ] 2.

二、类比推理的求解策略

数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法.

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正確性，还须经过严格的逻辑论证.

在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法.

（1）类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

（2）类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

（3）类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移.

运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象.按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型.

（1）降维类比

将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比.

（2）结构类比

某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决.

（3）简化类比

简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法.比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等.

例3. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则cos2 A+cos2 B=1. 试在立体几何中，给出四面体性质的猜想.

【解析】如图1，在Rt△ABC中，cos2 A+cos2 B=（）2 +（）2 = =1.

于是把结论类比到如图2所示的四面体P-A′B′C′中，我们猜想，三棱锥P-A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2 α+cos 2 β+cos 2 γ=1.

【點评】在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等.

例4. 已知数列{an}为等差数列，若am=a，an=b（n-m≥1，m，n∈N），则am+n= . 类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}（bn>0，n∈N），若bm=c，bn=d（n-m≥2，m，n∈N），则可以得到bm+n=________.

【解析】设数列{an}公差为d1，数列{bn}的公比为q，则等差数列中an=a1+（n-1）d1，等比数列中bn=b1qn-1，∵ am+n= ，∴ bm+n= .

例5. 如图所示，定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数A，都有f（x）≥A成立，则称函数f（x）在D上有下界，其中A称为函数的下界.（提示：图3、图4中的常数A、B可以是正数，也可以是负数或零.

（1）试判断函数f（x）=x3+ 在（0，+∞）上是否有下界？并说明理由；

（2）具有图所示特征的函数称为在D上有上界，请你类比函数有下界的定义，给出函数f（x）在D上有上界的定义，并判断（1）中的函数在（-∞，0）上是否有上界？并说明理由.

【解析】（1）∵ f′（x）=3x2- ，由f′（x）=0，得3x2- =0，x4 =16.

∵ x∈（0， +∞），∴ x=2.

∵当0< x <2时，f′（x）<0，∴函数f（x）在（0，2）上是减函数；当x > 2时，f′（x）>0，

∴函数f（x）在（2，+∞）上是增函数.

∴ x= 2是函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值点， fmin（x） =f（2）=8+ =32.

于是，对任意x∈（0， +∞），都有f（x）≥32，即在区间（0，+∞）上，

存在常数A=32，使得对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≥A成立.

所以，函数f（x）=x3+ 在（0，+∞）上有下界.

（2）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数B，都有f（x）≤B成立，则称函数f（x）在D上有上界，其中B称为函数的上界.

设x<0，则-x>0，由（1）知，对任意x∈（0， +∞），都有f（x）≥32，∴ f（-x）≥32.

∵函数f（x）=x3+ 为奇函数，∴ f（-x）=-f（x），∴ -f（x）≥32，即f（x）≤-32.

即存在常数B=-32，对任意x∈（-∞，0），都有f（x）≤B，

所以，函数f（x）=x3+ 在（-∞，0）上有上界.

【点评】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题. 数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移. 我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力.

例6. 设F1、F2分别为椭圆C： + =1（a>b>0）的左、右焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点P是（1）中所得椭圆上的动点，Q（0，）是定点，求 |PQ| 的最大值；

（3）已知椭圆具有性质：M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值. 试对双曲线 - =1（a>0，b>0）写出具有类似特征的性质，并加以证明.

【解析】（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2. 又点A（1，）在椭圆上，∴ + =1，得b2=3，于是c2=1.

∴椭圆C的方程为 + =1，焦点坐标为F1（-1，0）， F2 （1，0）.

（2）设P（x，y），则 + =1，∴ x2=4- y2，

|PQ|2=x2+（y- ）2=4- y2+y2-y+ =- y2-y+ =- （y+ ）2+5.

又∵ - ≤y≤ ，∴当y=- 时，|PQ|max= .

（3）类似的性质为：若M，N是双曲线 - =1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为KPM、KPN时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值.

下面给出证明：

设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中 - =1.

又设点P的坐标为（x，y），由KPM= ，KPN= ，得

KPM·KPN= · = ，

将y2= x2-b2，n2= m2-b2 代入，得KPM·KPN= （定值）.

三、演绎推理的求解策略

演绎推理的模式为：

三段论①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正確的. 如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的.

例7. 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1= Sn（n∈N+）. 证明：

（1）数列{ }是等比数列；

（2）Sn+1=4an.

【证明】（1）∵ an+1=Sn+1-Sn，an+1= Sn，

∴ （n+2）Sn=n（Sn+1-Sn），即nSn+1=2（n+1）Sn .

∴ =2· ，（小前提）

故{ }是以2为公比，1为首项的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由（1）可知 =4· （n≥2），

∴ Sn+1=4（n+1） =4· Sn-1 =4an （n≥2）.（小前提）

又a2=3S1=3，S2=a1+a2=1+3=4=4a1，（小前提）

∴ 对于任意正整数n，都有Sn+1=4an . （结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

【点评】“三段论”式的演绎推理一定要保证大前提正确，且小前提是大前提的子集关系，这样经过正确推理，才能得出正确结论；常见易错点是对大前提“凭空想象、思维定势、想当然”，从而出错，或者小前提与大前提“不兼容”“不包容”“互补”而出错.

例8. 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）

A. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数

B. 大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数

C. 大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数

D. 大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数

【解析】对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大前提错误；故选B.

题组练习：

1. 观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cos x）′=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=（）

A. f（x） B. -f（x） C. g（x） D. -g（x）

2. 将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（）

3 5 7

9 11 13 15 17

19 21 23 25 27 29 31

… … …

A. 809 B. 852 C. 786 D. 893

3. 已知“整数对”按如下规律排成一列：（1， 1），（1， 2），（2， 1），（1， 3），（2， 2），（3， 1），（1， 4），（2， 3），（3， 2），（4， 1），…，则第60个“整数对”是（）

A.（7，5） B.（5，7） C.（2，10） D.（10，1）

4. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M， N在大圆内所绘出的图形大致是（）

5. 一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn（n∈N？鄢），其中xk（k=1，2，…，n）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：x4 ？茌 x5 ？茌 x6 ？茌 x7 =0x2 ？茌 x3 ？茌 x6 ？茌 x7 =0x1 ？茌 x3 ？茌 x5 ？茌 x7 =0，其中运算⊕定义为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于（）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6. 老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：

甲说：“我们四人都没考好”；

乙说：“我们四人中有人考的好”；

丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；

丁说：“我没考好”.

结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中两人说对了.（）

A. 甲丙 B. 乙丁 C. 丙丁 D. 乙丙

7. 已知x∈（0， +∞），观察下列各式：x+ ≥2，x+ = + + ≥3，x+ = + + + ≥4，…，类比得：x+ ≥n+1（n∈N？鄢），则a=___________.

8. 如图所示是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为 .

9. 在平面几何中：△ABC的∠C内角平分线CE分AB所成线段的比为 = . 把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中（如图）DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________.

10. 已知等差数列 {an} 中，有 = ，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：________.

11. 观察下列不等式：

1+ < ，

1+ + < ，

1+ + + < ，

…

照此规律，第五个不等式为________________.

12. 已知命题：“若数列{an}是等比数列，且an>0，则数列bn= （n∈N*）也是等比数列”. 类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论.

13. 已知O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长交对边于A′，B′，C′，则 + + =1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”.

+ + = + + = =1.

请运用类比思想，对于空间中的四面体A-BCD，存在什么类似的结论？并证明.

答案简析：

1. 【解析】由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f（x）是偶函数时，其导函数应为奇函数，故 g（-x）=-g（x）.

2. 前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400（个），则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405-1=809.

3.【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有个“整数对”，注意到 <60< ，因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：（1， 11），（2， 10），（3， 9），（4， 8），（5， 7），…，因此第 60個“整数对”是（5， 7）.

4. 如图所示，MN，M′N′为小圆的直径，在运动过程中，∠M′NN′恒为90°，两个圆的连心线保持不变，故M，N只能在大圆相互垂直的两条直径上，故选A.

5. 【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1，由x4 ？茌 x5 ？茌 x6 ？茌 x7 =0可判断后4个数字出错；由x2 ？茌 x3 ？茌 x6 ？茌 x7 =0可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由x1 ？茌 x3 ？茌 x5 ？茌 x7 =0可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误.

6. 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对，如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.

7. 根据题意，对给出的等式变形可得：x+ ≥2，x+ ≥3，x+ ≥4，…类比有x+ ≥n+1，所以有a=nn.

8. 【解析】设1+2+4+…+2n-1=1023，即 =1023，解得n=10. 正方形边长构成数列，（）2，（）3， …，（）10，从而最小正方形的边长为（）10= .

9. 由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得 = .

10. 由等比数列的性质可知b1b30=b2b29=…=b11b20，∴

= .

11. 【解析】左边的式子的通项是1+ + +…+ ，右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1+ + + + + < .

12. 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{an}是等差数列，

则数列bn= （n∈N*）也是等差数列.

证明如下：设等差数列{an}的公差为d，

则bn= = =a1+ （n-1），

所以数列{bn}是以a1为首项，为公差的等差数列.