“恒成立”问题的解题方法探微

江苏省南京市玄武高级中学 尹 澳

恒成立问题是高中数学中的常见题型，也是高考考查的重要知识点。高中生应该在平时的解题实践中，对恒成立问题进行概括和总结，提高自身的综合解题能力。本文将着力结合恒成立问题，就其在函数、方程、不等式等题型中的解析应用方法进行归纳。

一、在函数题型中解析恒成立问题

函数题是高中数学的重要题型，也是高考考查的必考知识点。恒成立问题在函数题型中较多，也为我们了解恒成立问题、探析函数的性质提供了参考。如在某题中，一次函数f（x）=（m-6）x+2m-4，函数x的定义域为[-1，1]。当f（x）＞0恒成立时，求实数m的取值范围。该题为常见的恒成立题目，我们通过对题意进行分析，可以先得到一次函数的图像，观察其图像，在定义域[-1，1]范围内，若f（x）＞0恒成立，则应该满足f（-1）＞0和f（1）＞0。据此，我们可以得到关于m的不等式，进而求解出m的取值范围。也就是说，在该题解题方法上，通过已知条件，可以根据一次函数的性质，加上与恒成立的条件，得到一次函数应该满足都大于0的条件。据此，我们可以提炼关键信息，将一次函数及其图像作为判断依据，从定义域范围内应该都满足大于0的要求。同样，在二次函数里，如果存在恒成立问题，又该如何去解题？高中数学二次函数有一元二次、二元二次函数，恒成立问题多与一元二次 函数结合。当然，也有一元二次不等式。如下题：当x∈R，若要使不等式mx2+2x+3＞0恒成立，求m的取值范围。该题是关于不等式的恒成立问题，且有二次函数，我们可以对该函数进行分析，假设当m=0时，不等式成立；当m＞0时，根据一元二次函数的性质，得到该图像的开口向上，且关于对称轴的值应该在x轴上方；当m＜0时，该图像开口向下，且关于对称轴的值也应该在x轴上方。据此，我们可以综合分析，得到m的取值范围应该为（0，3）。

二、以参量法来解恒成立问题

针对恒成立问题，可以根据题意，结合高中知识来灵活选择不同的解题思路和方法。当然，不同题型的解题方法也不尽相同，我们在平时要多积累、多归纳，选择合适的解题方法，来化解恒成立问题。参量法作为其中之一，可以为我们提供更好地解题思路。通常，在恒成立问题求解中，时常会遇到一些不等式的证明，而不等式中又涵盖一些参量，这些参量的处理，往往为我们化解难题提供了关键。通过对参量进行换元处理，可以提升解题效率。如某题：有任意的a∈[-1，1]，对于函数恒成立，求x的取值范围。同样是一元二次不等式，出现了恒成立问题，我们可以从中分析题意，给出的条件为a的取值范围，但对于不同的a值，会遇到什么情况？我们可以在分析后，将a作为参量来分析不同情况。根据取值范围[-1，1]，当a=0时、a＞0时、a＜0时，不同情况下的函数范围以及对应的x的范围都可能不同。如此来梳理解题思路，显得很麻烦。如果我们引入换元法，将参量a作为变量来分析，则对原函数的x看作参量，如此一来，二次函数就化为一次函数。由此，再根据题意来求解，解法会轻松很多。最后，我们也可以通过验证方式来考查解法是否正确。当然，针对参量的换元法，我们还可以应用其他方法来解题。如分离参量法，结合题意中的参量，可以对参量进行提取，将不等式进行适当变形，由原来的恒成立问题，转换为较为简单的关于某一参量的问题。以某题为例：当x∈R，在不等式恒成立时，求解a的取值范围。观察该不等式，有两个变量，一个为a，一个为x，对于a还是二次项。为此，我们可以通过变形手法，将不等式转变为一边只有a的方程，另一边只有x的方程，从而得到两个代数式，可以将之看作两个函数式，即根据sinx的最值范围，得到关于a的不等式求解该不等式，即可得到a的取值范围。通过对上述恒成立问题的分析，为我们研究和应用不同解法积累了经验。在解题时，要沉着冷静，分析好题意和题型变化，选择合适的解法。

三、利用构造法来化解恒成立问题

在恒成立问题求解方法上，我们会发现一些条件无法被直接利用，需要从中进行提炼，这时，我们可以通过构造法，将有助于拓展解题思路。复数是高中数学重要内容，复数有实部、虚部两部分，根据实数的性质，可以推导出复数的一些性质。恒成立问题，有时可以借助于复数的构造，来获得快速求解方法。以某题为例，存在一个x，y，其定义域为R，求证：我们初看该题，分析为不等式，但通过分析题目中的变量关系，我们可以利用绝对值不等式来巧解该题。假设z1=x+yi，z2=（x+3）+（y+4）i，通过对z1，z2进行计算，得出结果再代入到不等式中，就可以完成证明。为此，我们需要先构造函数，接着，利用构造函数或其他数学形式来构造出外延和扩大的表达式，再利用缩小形式进行证明。需要强调的是，在构造函数引入解题时，顺序不能颠倒，对复数进行构造时，要结合复数性质来构造。当然，构造法的运用，需要我们能够从题设中查找和发现关键点，并对这些关键信息进行验证。

总之，在高中数学的学习过程中，我们应当通过对数学知识的不断探究，寻找各个知识点之间的联系。其中关于高中数学恒成立问题的解题策略是作为高中生应当熟练掌握的一项重要知识技能，求解方法较多，学生要围绕不同题型，拓宽解题思路，挖掘数学知识，选择恰当解法。高中生要在平时多积累解题经验，提升数学解题水平。