独辟蹊径 柳暗花明——浅议初中数学解题中换元法的妙用

江苏省海门市城北初级中学 沈善珍

随着教育改革的不断推进，数学思想越来越受重视，有关换元法的研究和运用也取得突破性发展。在初中数学解题教学中，解答一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，如果将其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，可以将复杂问题变得明朗化和简单化，在减少多项式的项数，降低多项式结构复杂程度等方面有积极作用。

一、换元法在解决方程问题中的妙用

换元法在初中数学解题中应用的范围相当广泛，是一种关键的解题技巧。在证明或解答部分较为复杂的数学问题时，要想找出未知条件与已知条件之间的关系，或者显现出隐蔽已知条件之间的关系，将新知识转化成旧知识，通常离不开换元法的辅助。方程是初中数学课程教学的重要构成部分，用换元法求解方程是惯用方法之一，可以快速求出正确答案。

例如，在学习“解二元一次方程”时，教师展示题目：已知方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）=1，求x的值。解析：在解该方程时，假如采用常规方法去括号分别相乘之后将会得到一个一元四次方程，这对于初中生来说，显然超出他们的能力范围，求解是相当困难的。而采用换元法时可以设x2+5x+4=y，那么x2+5x+6=y+2，原 方 程 可 以 转 变 成 y（y+2）=1， 即 y2+2y=1，y2+2y+1=1+1，（y+1）2=2，y+1=±，y=-1±。所以得到x2+5x+4=-1+，x2+5x+4=-1-，之后求解将会变得相对简单。同样，在方程=7x-6中，如果直接去分母的话难度较大，将会得到一元高次方程，很难求解，可采用换元法将原方程适当变形，设，则原方程转变成2y2-7y+6=0。

上述案例，运用换方法解二元一次方程时，能够巧妙避免高次方程的出现，在一定程度上有效降低解方程的难度，学生利用固有的知识和经验即可轻松求解二元一次方程。学生在应用换元法的过程中，深刻感受到换元法给解题与应用带来极大的帮助，从而激发了学生进一步应用换元法解题的兴趣，促进学生内在学习动力的激发。

二、换元法处理方程组问题中的妙用

方程组属于方程问题中难度系数较高的题目类型，在初中数学方程组教学中，换元法的主要作用是将计算量变得简便。由于部分方程采用常规方法也能够求出未知数，不过计算量较大，容易出现错误。为此，初中数学教师在具体的教学实践中，应该指导学生采用换元法将复杂的方程组变得简单化，或者将高次方程组降为低次，从而减少错误现象的出现。

比如，在展开“解二元一次方程组”教学时，教师先罗列方程组：x=2y，x+3y=10；x-2y=6，x+3y=11；2x+3y=7，3x+5y=11；搭配问题：解方程组一般可有几种方法？学生将会回答代入消元法和加减消元法；追问：最后一个方程组还可以如何解？以此引出用换元法解方程组的教学内容。接着，教师设计方程组：解析：在解答该二元一次方程组时，可采用单参数换元的方法，根据①，设2（x+1）=3（y-1）=6k，得到x=3k-1，y=2k+1，将其代入到②中得到5（3k-2）=3（2k+2）-7，解得k=1，即为x=3×1=3-1=2，y=2×1+1=2+1=3，所以原方程组的解是x=2，y=3。之后，组织学生尝试练习解决上述最后一个方程组，当堂练习换元法在解方程组中的应用。

在上述案例中，学生用一个字母来代替原方程中一个较复杂的代数式，将原方程作简化处理，易于求解，不过需要严格按照设元—换元—求新元—回代—求解—验根的步骤进行。学生在训练与提升过程中，从方法与实践中提升对换元法的理解深度，由内而外地达成对换元法的应用能力，促进学生的可持续发展。

三、换元法在因式分解问题中的妙用

在初中数学知识体系中，多项式的因式分解学习起来虽然难度一般，但是涉及的基础性知识较多，包括加减乘除、平方、代数式等，学生需明确因式分解与整式乘法间的关系，在探索中进行新旧知识的比较，理解因式分解的基本方法。换元法是进行因式分解的常用方法，深得学生的喜爱与青睐，初中数学教师需指导学生巧妙应用换元法进行因式分解。

在进行“多项式的因式分解”教学时，教师设置题目：分解因式（x2+3x+2）（x2+3x+12）-120。解析：在解答该道题目时，如果先利用乘法公式将原式展开再分解，将会异常困难，直接运用换元法也不太恰当。此时，学生应认真观察着两个式子特征，思考是否可以先分解组合，然后再巧妙应用换元法。解：先把原式分解得到（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-120，为换元法的应用做准备，组合得到[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]-120， 即 原 式 =（x2+5x+4）（x2+5x+6）-120。设x2+5x+4=y，则原式=y（y+2）-120=y2+2y-120，分解这一含字母y的二次三项式得到（y+12）（y-10），即（x2+5x+4+12）（x2+5x+4-10），最终结果是（x+6）（x-1）（x2+5x+16）。

针对上述案例，在运用换元法之前需要对原式进行观察和分析，再分解和组合，为后续解题做好铺垫工作，帮助学生消除因式分解的畏难情绪，并掌握更加简便的解题方法。基于现有问题的思考与分析是最好最快提升学生分析问题、解决问题能力的关键，换元法也需要教师学会就地取材、灵活应用。

总之，在初中数学解题教学活动中，教师需要独辟蹊径，充分认识到换元法在解题中的妙用，引导学生将换元法灵活运用到解方程、解方程组和因式分解等题目中，组织他们在日常学习与实践中不断总结与归纳经验，不断提升他们的解题水平。