泊松分布的几点说明

河南质量工程职业学院基础教学部 赵晓艳

在介绍泊松分布之前，我们先介绍二项分布。泊松分布符合二项分布前提条件，是在二项分布基础上的一种特殊分布。

一、二项分布

二项分布适合的类型：二项分布适用伯努利概型，即随机事件A只有两种结果，要么发生，要么不发生。如果我们假设事件A发生的概率为p，那么不发生的概率就是1-p。生活中比较典型的例子，比如投篮球、扔一枚硬币、彩票中奖、射击目标等，这些例子都是比较典型的伯努利概型。比如射击，对于一个人来说，在某段时间内射击水平稳定，每射击一次，命中的概率为p，未命中的概率就是1-p。又比如一个人在某段时间内投篮球命中率也是固定的，假设命中率是百分之六十，那么未命中的概率就是百分之四十。下面我们给出伯努利概率的具体定义。

n重伯努利试验：独立重复进行n次伯努利试验，这一独立重复试验序列为n重伯努利试验。

伯努利定理：假设独立重复进行n次试验，在一次试验中，事件A发生的概率为p，在n重伯努利试验中，事件A发生K次概率为

下面介绍伯努利概型前提下的几种分布。两点分布：当随机变量X取值只有两个，假设为对应的概率为其中，如果则随机变量X服从参数为p的两点分布，记为用式子表示为则依此公式可列出随机变量X的分布，也可以用表格，表格更加简单明了，学生更容易理解运用。有一种特殊情况，如果这时，随机变量X的分布称为0-1分布，容易看出，0-1分布是二项分布的一种特殊情况，它符合二项分布的所有特征，包括前提条件等。现实生活中，比如投篮球、射击等，就是非常典型的两点分布，也是0-1分布。比如射击，我们可以把命中记为未命中记为如果命中概率为百分之七十，那么未命中概率就是百分之三十，如果看作0-1分布的话，令即可。下面我们来介绍二项分布，此试验独立重复进行n次，假设事件A发生的概率为p，记随机变量X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，当随机变量X所有可能取值为0、1….n，则随机变量X的分布用式子可以表示为：若随机变量X分布列为此形式，则称随机变量X服从参数为np的二项分布，记为当然，也可用表格形式表示。此分布称为二项分布，因其表达式和中学里的二项式定理展开式非常类似，因此叫作二项分布。当二项分布中随机变量X取值只有两个时，二项分布即为两点分布。由此我们可得：两点分布是二项分布的特例，而0-1分布又是两点分布的特例。

二、泊松分布

二项分布中当n非常大，但是同时事件A发生的概率p又非常小时，此时用二项分布中求概率公式已经很难求出其值，例如，因为n很大，p很小时，导致展开式非常难计算，有时候必须借助计算机才可以计算最终结果，这时候我们引入泊松分布，泊松分布在离散型分布中具有非常重要的意义，例如在一个医院中，每个病人来看病都是随机并独立的概率，则该医院一天（或者其他特定时间段，如一小时、一周等等）接纳的病人总数可以看作是一个服从poisson分布的随机变量。但是为什么可以这样处理呢？最好的解释方法是从poisson的两种不同定义上着手。Poisson分布的第一个定义泊松分布：假设随机变量X的分布为：，其中则称随机变量X服从参数为 的泊松分布，记为这个定义就是我们平时考试或者理论工作时用的poisson随机变量的定义。

泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中发生的概率为p，我们取则对任意确定非负整数k，有注意Poisson还有一个知名度比较小的第二个定义，或者说是Poisson Process定义：假定一个事件在一段时间内随机发生，且符合以下条件：（1）将该时间段无限分隔成若干个小的时间段，在这个接近于零的小时间段里，该事件发生一次的概率与这个极小时间段的长度成正比。 （2）在每一个极小时间段内，该事件发生两次及以上的概率恒等于零。（3）该事件在不同的小时间段里，发生与否相互独立。 则该事件称为poisson process。这个第二定义就更加利于大家理解了，回到医院的例子之中，如果我们把一天分成24个小时，或者24×60分钟，或者24×3600秒。时间分得越短，这个时间段里来病人的概率就越小（比如医院在正午12点到正午12点又一毫秒之间来病人的概率是不是很接近于零？）。条件一符合，如果我们把时间分得很细很细，条件二也符合。条件三的要求比较苛刻，应用到实际例子中就是说病人们来医院的概率必须是相互独立的，如果不是，则不能看作是poisson分布。问题是为什么现实生活中的情况（如医院例子）会服从poisson分布的第一定义?现在有了第二定义作为桥梁，应该就很容易理解了。现实生活中的例子中如果事件相互独立，那么它就是符合poisson分布的第二定义的。而从poisson第二定义到poisson第一定义之间是有严格的数学证明的。因为泊松分布在实际生活应用中有广泛的现实背景和意义，比较典型的例子有在某一个红绿灯路口发生交通事故的件数、一个纱线厂纱线在某一段时间内出现的断头数、某县年龄在100岁以上居民人口数、火山在某时间段内喷发次数等等，这些例子都有一个共同特征，那就是这些事件都是稀有事件，发生次数服从或者近似服从泊松分布。所谓稀有事件，即为每次试验中事件发生的概率非常小，如洪水、火山喷发、地震、工厂出现次品乃至银行印钞机印出错钞都属于此事件，这种情况一般都是n很大，p很小，这时候虽然试验都符合伯努利概型，也可以用二项分布概率公式求出，但是出现一个很难解决的问题：大部分概率利用此公式计算起来都非常困难，这时候二项分布可以近似为泊松分布，利用泊松分布概率分布表，即可求出概率。

接下来我们看一个例子：设某保险公司的某人寿险种有2000人投保，每个人在一年内死亡的概率为0.002，且每个人在一年内是否死亡相互独立，试求在未来一年这2000人中死亡人数不超过8人的概率。此问题属于伯努利概型，符合二项分布，且从题中可以看出，n=2000，p=0.002，我们先用二项分布解决这个问题：如果利用二项分布公式计算，需要计算8个式子，况且每一个式子都需要计算机才能计算出结果，但同时我们发现此案例中，n很大，p很小，np=4，符合泊松分布，因此我们转换思路，利用泊松分布计算。我们假设2000个投保人在一年内死亡人数为X，则2000个投保人在一年内死亡人数不超过8人的概率为：由此可得2000个投保人在一年内死亡人数不超过8人概率为0.9781，非常接近百分之百，由此结果我们可以看出，虽然投保人达到2000人，但是因为概率非常小，最后得到一年内死亡人数不超过8人几乎是绝对的，由此保险公司可制定出适宜的政策，从而获得最大收益。

本文主要讲了泊松分布的几点重要的说明。首先介绍0-1分布和两点分布，给出了具体形式和适用前提条件，然后引出二项分布，通过分析我们得出0-1分布是两点分布的特例，两点分布是二项分布的特例，进而我们又通过二项分布引出泊松分布，给出了泊松分布的背景和研究意义，又得出二项分布可视为泊松分布的条件，并且给出在此条件下为何二项分布可视为泊松分布。同时我们又给出读者典型案例，说明泊松分布在计算中的重要性，最后给出本文小结。

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