运用函数思想，妙解数列难题

曹 烨 （江苏平潮高级中学）

数列的知识点是高中数学中较为重要的一个部分，它与高中数学中其他方面的知识点连接得十分紧密，尤其是与函数存在着相关性，在分析数列的时候，往往可以从函数的概念、性质和图像方面来研究数列的一些问题，为高中数列问题插上函数思想的翅膀，往往能够运用函数的思想来巧妙地解决数学中遇到的一些难题。

一、演绎归纳，探究最值问题

在解决苏教版高中数学中一些数列问题的时候，运用函数的一些性质和特点等，就可以在解决数列难点问题时，根据函数将复杂的问题转化为简单的问题，归纳演绎为进行数学分析和演算中就可以来探究数列的最值问题。

涉及数列最值问题时，我给同学们构思了这样的教学设计，题目是这样说的：已知数列{an}，它的通项公式an=n2-5n-8（n∈N+），求an的最小值是多少？同学们在刚刚分析这种类型题目的时候，往往很难将数列与函数问题联系到一起，因此在讲解的过程中首先要给同学们指出的是数列an=n2-5n-8可转化为二次函数f（x）=x2-5n-8，分析二次函数的图像和性质可以得到二次函数（fx）=x2-5n-8在区间单调递减，在区间单调递增，数列与函数的不同之处在于数列的取值范围只取正整数，即，这样就可以通过二次函数巧妙地将数列的最小值求出来了，即（an）min={a2，a3}=-14。通过这道题目的分析，同学们就可以了解到数列与函数的关系，从图像上来直观地看，数列就是函数上所分布的一些孤立的点。

二、比较特征，突破单调瓶颈

通过联想和比较数列与函数的一些特性，就可以将数列的单调性问题转化为函数的单调性问题，运用这种手段能够轻松地突破数列在研究单调问题时所遇到的瓶颈问题。函数的性质是同学们在学习数列前早已熟稔于心的数学知识，在学习数列或者做数列的相关练习题的时候，教师不断地引导同学们将新知识与所学过的知识进行比较和联想，在旧知识的基础上不断地进行对于新知识的引申和发展，就能够锻炼同学们的数学思维能力，然后遇到数列中所涉及的关于单调性的难题就可以迎刃而解了。

关于数列单调性问题，我在教学设计中出了这样的一道题目：已知数列的通项公式an=n2+λn，数列{an}是递增数列，求实数的取值范围是什么？在看到这道题目的时候大部分同学的反应是懵着的状态，在引导学生处理这道题目的时候可以从函数单调性中的对称轴方面的思路进行解答，也可以在研究单调性后从拐点方面解答。由已知条件{an}为递增数列，化解式子 an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ＞0，因为对于所有的正整数都成立，所以对于λ＞-2n-1这个式子恒成立，只需要得到λ＞（-2n-1）max，然后我请同学们解这个不等式，得到λ＞-3。对于这种题目的解法就是将数列问题转化函数问题，根据二次函数在上[1，+∞）的单调性问题，然后结合不等式以及解不等式就可以求解出所求的未知数的取值范围。这样，利用二次函数的知识就可以巧妙地突破数列单调的瓶颈问题。

三、多元转化，寻觅周期规律

数列其实就是一种特殊的函数，因此在研究数列问题的时候，比如涉及数列周期问题的时候，教师就可以不断地引导同学们运用函数的观点来解决问题，很多函数都是具有周期性的。通过函数的观点来指导数列，不仅可以帮助学生直观地认识到在高中数学中所学到的数列的本质问题，还能在解决数学周期问题时借助函数思想和观点来解决数列问题，这是高考命题中着力立意的主要思想，将数列涉及到周期性的问题进行多元的转化，就可以寻觅函数周期规律作为切入口解决问题。

在帮助同学们解决数列周期性问题的时候，我将其与函数问题做了相关的多元转化，其中我帮助同学们设计了这样一道题目：数列{an}的通项公式，它的前项和n为Sn:，请学生们回答S2014:等于多少？要想解决这道题目的话，需要逐步地引导同学们先将数列问题转化为函数问题，根据数列的通项公式可以得到函数的解析式，然后可以判断根据数列转化的函数属于三角函数，根据三角函数的周期性，可以得到周期T=4，这样的话可以得到：S2014:=4×503+1=2013。对于这种类型的题目，我们可以从题目中发现数列的通项能够转化为有关的函数，这样在构造了函数以后，可以根据函数的周期性来解决在数列中遇到的难点问题。教师在解决这类型的题目的时候，可以不断地引导学生架起数列和函数的桥梁。