基于Schwarz交替法的岩溶区双孔土洞地基稳定性分析

赵明华,袁腾方,陈言章,杨超炜

(湖南大学岩土工程研究所,湖南 长沙 410082)

岩溶地貌在我国分布较为广泛,堤防、坝基等水利工程往往不可避免地需穿越岩溶发育区[1-2],土洞作为岩溶区土层中常见的岩溶产物,它的破坏塌陷将影响地基的稳定性。因此,如何确定地层中土洞的稳定性具有重要的工程价值。

目前,众多学者对该问题开展了大量的研究工作,主要有试验研究、数值分析及理论研究。在试验研究方面,刘庭金等[3]基于室内模型试验研究了含单个矩形空洞地基的渐进破坏全过程;Al-Tabbaa等[4]基于小比例模型试验研究了受竖向荷载作用下的含多个圆形土洞地基的稳定性;Kiyosumi等[5]对坚硬地层中含多个矩形空洞的上方条形基础承载力开展了离心机试验。当依托试验研究获得数据后,有必要对模型做适当简化,提出符合试验规律的理论方法,并结合数值分析方法进行验证。在数值研究方面,赵明华等[6]采用上限有限元法得到了下伏空洞地基极限承载力;Azam等[7]利用二维有限元软件对含空洞的地基承载力进行了数值计算,并讨论了空洞顶板厚度和空洞位置等因素对地基承载力的影响;彭芳乐等[8]利用PLAXIS分析了单一土洞存在时其位置对浅基础承载力和沉降的影响,并对其发生机制进行了研究;Kiyosumi等[9]探究了浅基础作用在含多个空洞地层时的极限承载力。以上数值方法计算结果相对准确,但参数选取较为复杂,限制了其在实际工程中的应用，因此有必要开展土洞稳定性评价理论方法的研究。刘之葵等[10]根据弹性理论求得单一土洞周边土体的应力状态,并利用Mohr-Coulomb屈服准则分析了土洞地基的稳定性;李倩倩等[11]基于复变函数理论求得了自重应力及竖向均布荷载作用下含空洞地层初始破坏的精确解答;Wang等[12]假定作用在单圆形空洞上方条形基础的破坏模式,采用极限分析的方法得到了基础的极限承载力公式。但目前的理论方法均是探究单一土洞的地基稳定性,而实际工程中土层存在双孔土洞的可能性,且双孔土洞的受力较单一土洞更为复杂,因此,有必要针对双孔土洞的地基稳定性作进一步研究。鉴于此,本文基于Schwarz交替法求得双孔土洞洞边最危险点处的应力大小,利用Mohr-Coulomb强度准则判断土体的稳定性,然后,引入稳定系数,对影响土洞稳定性的主要因素进行参数分析。

1 问题描述

廖丽萍等[13]对地基中椭球形空洞稳定性进行了分析,结果表明,在远场应力状态相同的条件下,椭球洞比椭圆孔更稳定。戴自航等[14]对室内试验进行了数值模拟,研究证实:相同条件下,三维椭球状溶洞的稳定性要大于二维椭圆形溶洞的稳定性。因此,设距基础荷载集度q0以下h深度处存在双孔圆形土洞,不考虑土洞内部填充物的影响,如图1所示,图中b为基础宽度；q为作用在分析域土体上的垂直应力;p为作用在分析域土体上的水平应力;r1、r2分别为土洞1、土洞2的半径；d为土洞1圆心O1与土洞2圆心O2的相对位置;θ为土体中任一点O在x1O1y1坐标系下的环向坐标;z1为土体中任一点O在x1O1y1坐标系下的径向坐标;z2为土体中任一点O在x2O2y2坐标系下的径向坐标。为减小开孔应力扰动的影响,要求h≥6max(r1,r2)[15],可将地基中土洞周围土体应力分布问题简化为二维平面上双向受压无限板孔口的应力分布问题。对基底下土洞进行应力分析时,取土洞圆心距荷载边界的距离L=6max(r1,r2)作为分析域。本文利用复变函数进行求解,z1、z2、d用复数表示。

图1 基础下存在双孔圆形土洞

由于基础宽度b并不是无限大,本文采用文献[10,16]中的处理方法:在分析域外,采用弹性半无限空间的理论解,分别计算出M点、N点处的附加应力作为代表M点水平面和N点水平面处的附加应力,此时:

(1)

式中:αM、αN分别为M点、N点的附加应力系数;σCM、σCN分别为M点、N点处土体的自重应力;λ为土体的侧压力系数,λ=μ/(1-μ),μ为土的泊松比。当基础荷载集度为大面积堆载时,αM=1,αN=1,则q=q0+σCM,p=λ(q0+σCN)。

2 Schwarz交替法求解双孔土洞应力

2.1 Schwarz交替法

利用Schwarz交替法求解双孔圆形土洞的基本过程[17]如下:①在平面中先开挖土洞1,该问题为单连通域问题,未开挖的土洞2周边应力可通过柯西积分法求出;②开挖土洞2,即在土洞2周边作用相应的平衡外力使孔边外载为0,可求出土洞1周边的应力。

上述过程为完成一次迭代。若算出的土洞1周边的面力为零分布,将式(1)(2)的计算结果进行叠加即为土洞1、2均存在时的解答,若不为零,则在土洞1周边作用相应的平衡面力。

迭代过程中需进行坐标系转换,由坐标系x1O1y1平移至坐标系x2O2y2时两复应力函数的转换关系为[18]

(2)

同理,由坐标系x2O2y2平移至坐标系x1O1y1时两复应力函数之间的转换关系为

(3)

2.2 双孔圆形土洞应力的求解

2.2.1 只存在土洞1时的复应力函数

将半径为r1的土洞映射到ζ平面单位圆外,其映射函数取z1=ω(ζ)=r1ζ,可得复应力函数应满足[19]:

(4)

式中:σ为位于ζ平面的单位圆孔边点;γ为单位圆圆周,积分方向沿着逆时针方向;φ0(σ)为单位圆外解析函数φ0(ζ)的边界值;ψ0(σ)为单位圆外解析函数ψ0(ζ)的边界值;f0(σ)为应力边界条件,应满足:

(5)

式中:X1、Y1分别为土洞1边界上一点沿x轴、y轴的面力分量;X、Y分别为土洞1边界上一点沿x轴、y轴的合力分量;B1、B2、C取决于土洞1远端处的荷载,文中X1=Y1=X=Y=0,B1=(q+p)/4,B2=(q-p)/2,C=0。

联立式(4)(5),并根据Harnack定理可得只存在土洞1时在坐标系x1O1y1下的复应力函数为

(6)

只存在土洞1时在坐标系x2O2y2下的复应力函数φ21(z2)、ψ21(z2)可通过式(2)进行坐标转换求得。

2.2.2 一次迭代后的复应力函数

由于土洞1的开挖而在土洞2边界上作用的多余面力为

(7)

式中:t2为z平面上土洞2的边界点。

为满足土洞2的应力边界条件,需加上反面力-f21(t2),并用反面力代替式(4)中的f0(σ),根据Harnack定理可得一次迭代后在坐标系x2O2y2下的复应力函数为

(8)

一次迭代后在坐标系x1O1y1下的复应力函数φ12(z1)、ψ12(z1)可通过式(3)进行坐标转换求得。

2.2.3 二次迭代后的复应力函数

由φ12(z1)、ψ12(z1)在土洞1边界上产生的多余面力为

(9)

式中:t1为z平面上土洞1的边界点。

同理,为满足土洞1的应力边界条件,需加上反面力-f12(t1),并用反面力代替式(4)中的f0(σ),根据Harnack定理可得二次迭代后在坐标系x1O1y1下的复应力函数为

(10)

二次迭代后在坐标系x2O2y2下的复应力函数φ23(z1)、ψ23(z1)可通过式(3)进行坐标转换求得。

2.2.4 土体中任一点应力的求解

完成两次迭代后,土洞1的应力边界条件精确满足,土洞2边界存在多余面力,坐标系x1O1y1下的复应力函数φ1(z1)和ψ1(z1)为

(11)

土体中任一点的应力分量应满足[20]:

(12)

同理,也可通过坐标系x2O2y2下的复应力函数φ2(z2)和ψ2(z2)推求土体中任一点的应力分量。

2.3 双孔土洞稳定性分析

2.3.1 应力坐标转换及主应力的求解

应力分量由极坐标向直角坐标变换的关系式为

(13)

式中:σx为法线与x轴平行的面上的正应力;σy为法线与y轴平行的面上的正应力;τxy为法线与x轴平行的面上的切应力。

可求得土体中任一点的最大、最小主应力为

(14)

2.3.2Mohr-Coulomb强度准则

如图2所示,根据土体抗剪强度线与应力莫尔圆相切的几何关系,建立土体的极限平衡条件[21]:

(15)

式中:σ1为最大主应力;σ3为最小主应力;c为土体的黏聚力;φ为土体的内摩擦角。

图2 土体的极限平衡条件

令式(14)中σmin=σ3,代入式(15)求得σ1,若σmax>σ1,则土洞发生破坏,反之则土洞处于稳定状态。

2.3.3 判定土洞洞边最危险点的稳定状态

通过式(13)(14)求出的是土体任一点的最大、最小应力,为了判定出土洞洞边最危险点处是否发生破坏,本文沿逆时针方向以45°为间隔对土洞1洞边进行划分,对土洞2洞边沿顺时针方向按45°为间隔划分,如图3所示,按式(14)求出土洞洞边8个点处的最大、最小应力,再按式(15)的土体极限平衡条件进行判断。

图3 土洞洞边按45°间隔划分

3 结果验证

3.1 理论及数值验证

如图4所示,两圆大小相等且关于y轴对称,Ling[22]利用双极坐标系求得了圆孔周边点M1、N1处环向应力σθ的精确解。为进一步验证Schwarz交替法的计算结果,使用ABAQUS软件建立如图5所示的平面应变计算模型,计算时取孔洞半径r=1 m,q=p=1 Pa,模型边界距孔洞洞心的距离为孔洞半径的6倍。将利用Schwarz交替法完成二次迭代后求得的结果与文献[22]以及数值模拟的结果进行对比,如表1所示。

图4 含两个相同圆孔的双向受压板

图5 ABAQUS计算模型

由表1可知,基于Schwarz交替法完成二次迭代后求得的结果与文献[22]以及数值模拟的结果基本一致,最大误差在5%以内,值得注意的是,当圆心距d12逐渐变大,所求的结果越接近于精确解。

表1 σθ计算结果的对比

3.2 算例验证

某水库浸没区建筑物采用1.6 m×1.6 m的柱下独立基础[10],如图6所示,基础埋深为1 m,基底下土层为硬塑黏土,水位埋深1.8 m,黏土重度γ1=18 kN/m3,饱和重度γsat=18.5 kN/m3,黏聚力c=50 kPa,内摩擦角φ=26°,土侧压力系数λ取0.5,基底附加压力q0=180 kPa,基础底面以下5.0 m处有一半径为0.3 m的土洞。

图6 计算简图

该算例为单一土洞问题,为本文解在r1=0.3 m,r2=0时的特殊情况,先求出距土洞洞心6r分析域处的垂直应力q=72 kPa及水平应力p=38 kPa,按本文计算方法,根据式(12)可求得1/4土洞以15°为间隔时E～K点处土洞洞边应力σθ的计算结果:θ=0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°时土洞洞边应力σθ分别为178.00 kPa、168.89 kPa、144.00 kPa、110.00 kPa、76.00 kPa、51.11 kPa、42.00 kPa。与文献[10]计算结果一致,这是由于利用Schwarz交替法求解单连通域问题时,不需要进行多余面力的消除,退化为文献[10]中的齐尔西解答,从而验证了本文计算方法的准确性。

4 参数分析

影响双孔圆形土洞稳定性的参数主要有以下两方面:①土洞参数:土洞1、2的半径r1、r2,土洞1与土洞2的相对位置d等;②土体参数:土体的侧压力系数λ,土体的抗剪强度指标c、φ等。因此本文将着重从土体的侧压力系数、土洞半径比及土洞相对位置3个方面对双孔土洞的稳定性进行参数分析。

4.1 计算参数及评价指标

为了能直观地描述各参数对土洞稳定性的影响,引入稳定系数k,本文以极限平衡状态下土体主应力σ1与土洞周边最大主应力σmax的比值来判定土洞的稳定性[23]:

(16)

当稳定系数k≥1时,表明土洞的稳定性满足要求,反之则需要对基础下的土洞进行处置。

4.2 双孔圆形土洞稳定性的影响分析

4.2.1 土体侧压力系数的影响分析

土体侧压力系数λ与泊松比μ满足λ=μ/(1-μ),土的泊松比与土的种类和状态有关,μ的经验值在0.15～0.42范围内[21]。因此为分析土体侧压力系数对土洞稳定性的影响,假定基础荷载为大面积堆载,令q=50 kPa,r1=r2=1 m,d=(3,0),c=50 kPa,φ=26°,λ分别为0.1、0.3、0.5、0.7、0.9,由于r1=r2,将土洞1和土洞2平行布置,根据对称性可得土洞1和土洞2应力分布相同,因此表2仅给出土洞1洞边8个点处的应力值。

根据表2可知,点1-2和1-8,点1-4和1-6洞边的应力相同,这正好验证了荷载对称性;由于土洞边界存在σr=τrθ=0,故理论上σmin=0,而表2求得σmin相对于σmax基本可以忽略不计,这也间接说明了二次迭代计算结果的精确性;土洞1在点1-1处应力达到最大值,处于最危险状态。图7给出了土洞边界点1-1的稳定系数k与土体侧压力系数λ的关系曲线。

图7 土体侧压力系数对土洞稳定性的影响

由图7可知,土洞的稳定性随土体侧压力系数的增大呈线性增大,当q=50 kPa时,随着土体侧压力系数的增大,土洞的稳定性从不稳定向稳定跨越,且土洞的稳定性随垂直应力q的增大而逐渐减小。

表2 土洞1洞边最大、最小应力 kPa

4.2.2 土洞半径比的影响分析

由于荷载具有对称性,为便于分析土洞半径对土洞稳定性的影响,定义土洞2与土洞1的半径比m21=r2/r1,假定基础荷载为大面积堆载,令q=50 kPa,λ=0.5,d=(3,0),c=50 kPa,φ=26°,r1=1 m,r2分别为0.5 m、1.0 m、1.5 m、2.0 m,通过式(14)可计算求得土洞1、土洞2分别在点1-1、点2-1处于最危险状态。图8给出了土洞1边界点1-1,土洞2边界点2-1的稳定系数k与土洞半径比m21的关系曲线。

图8 土洞半径比对土洞稳定性的影响

由图8可知,土洞的稳定性随土洞半径比的增大而逐渐减小,当m21=1.0时,边界点1-1和2-1的稳定系数基本一致,这恰好解释了模型的荷载对称性以及几何对称性,当m21=2.0时,土洞1和土洞2相切,边界点1-1和2-1重合,因此得出的稳定系数k一致。

4.2.3 土洞相对位置的影响分析

假定基础荷载为大面积堆载,令q=50 kPa,λ=0.5,r1=r2=1 m,c=50 kPa,φ=26°,并以土洞1圆心O1为基准点,土洞相对位置d分别为(3,0)、(3,-1)、(3,-2)、(3,-3),计算得到土洞1在边界点1-1处应力最大,表3给出了不同土体相对位置下土洞边界点1-1的稳定系数值。

由表3可知,当土洞相对位置d从(3,0)增大到(3,-1)时,土洞的稳定性基本保持不变,当土洞相对位置继续增大,土洞稳定系数则随之线性增大；当q=60 kPa时,随着土洞相对位置的增大,土洞的稳定性从不稳定向稳定跨越,且土洞的稳定系数k与垂直应力q成反相关关系。

表3 不同土体相对位置下边界点1-1的稳定系数

5 结 语

本文基于Schwarz交替法进行二次迭代求出了含双孔土洞土层中任一点的最大、最小应力值,计算结果具有较高的精度,并利用Mohr-Coulomb强度准则对土洞稳定性进行评价,该方法可用于分析基础下任意位置双孔土洞的稳定性,比现有计算方法应用范围更广。通过参数分析,探讨了土体的侧压力系数、土洞半径比以及土洞相对位置对土洞稳定性的影响,结果表明:土洞稳定系数与土体侧压力系数呈线性正相关,随土洞半径比的增大而减小,随土洞相对位置的增大先保持不变而后线性增大。