分数阶混沌与DNA编码相结合的图像加密算法∗

陈秋琼 张安清 林洪文 牛治永

（海军大连舰艇学院信息作战系 大连 116011）

1 引言

随着网络通信、云计算等技术的高速发展，数字图像信息的安全传输成为亟须解决的重要问题，数字图像加密技术是目前最为有效的方法之一。由于混沌系统具有不可预测性、伪随机性、对初始条件的极度敏感性等特征，许多学者提出了基于混沌的数字图像加密算法［1～8］。然而，现有的混沌图像加密算法大多基于整数阶混沌系统。研究表明，分数阶混沌动力学系统除具有除整数阶混沌系统的特性外，还具有很强的记忆性，可反映系统历史信息。此外，可通过非线性预测、神经网络和回归映射等方法重构整数阶混沌系统，但无法实现分数阶系统的重构。因此，基于分数阶混沌的数字图像加密算法极具研究意义。

1994年，Adleman首次提出DNA（deoxyribonu⁃cleic acid）计算思想，开辟了信息时代的新纪元。后续研究证明，DNA计算具有低功耗、大存储量、高信息密度等优点，能够很好地解决图像信息的安全问题，为数字图像加密开拓了新的研究方向。近年来，国内外学者提出了将混沌理论与DNA编码相结合的数字图像加密算法。其中，Wang等［10］利用DNA编码将图像分为4个子图像块，利用Logis⁃tic映射产生的混沌序列分别对其置乱加密，但是该算法密钥空间小，无法抵御穷举攻击。Xue等［11］提出基于多混沌映射与DNA序列相融合的加密算法，利用DNA编码与Logistic映射、Cubic映射相融合加密数字图像，但是加密后的密文图像安全性低，相邻像素相关性高，实现过程复杂。Liu等［12］提出利用混沌系统和DNA互补规则对图像进行加密，同样存在密钥空间小、像素相关性低、抗攻击能力弱等问题。魏广政等［13］提出一种改进的基于DNA编码和混沌映射的图像加密方法，分别对明文图像和Logistic映射产生的混沌序列进行DNA编码，利用DNA加法法则进行加密，但该算法的安全性完全依赖于混沌映射，与明文图像没有任何关系，因此可以通过选择明文攻击的方法破译［14］。

基于上述分析，本文提出一种基于分数阶混沌系统与DNA计算相融合的数字图像加密方案。该方案采用置乱和扩散技术，利用改进的Logistic混沌映射和一种新的分数阶混沌系统，结合DNA编码规则对彩色图像进行加密。本文算法密钥空间大、相邻像素相关性弱、安全性能高，能有效抵抗各种攻击。

2 基本理论

2.1 改进的Logistic映射

Logistic映射表达式为

式中，xn∈［0，1］，μ∈［0，4］为系统参数。Logistic映射因其动力学行为复杂、结构简单而得到广泛的应用，但其映射范围较小，仅当μ=4时，在区间［0，1］上呈现满映射状态，有较强的混沌特性［15］。如果混沌映射范围较小，数字量化的过程中各迭代值之间更相近，容易出现动力学行为退化、周期短的现象。为了改善Logistic映射的动力学特性，文献［15］提出一种改进的形式，即Logistic-Logistic系统级联，其动力学方程如下：

式中，xn∈［0，1］，μ1，μ1∈［0，4］。图1（a）、（b）分别为Logistic映射和级联系统的分岔图，图2给出了级联系统的Lyapunov指数谱。从图1（a）、（b）可以看出，级联系统的混沌映射参数范围约扩展为［1.53，4］，是Logistic混沌映射参数范围的5.86倍。因此，Logistic-Logistic级联系统可以提供较大的密钥空间，增强破译难度。其次，级联系统的混沌满映射范围扩展为1.7，而Logistic映射只有在μ=4时才是满映射。其三，级联混沌系统的Lyapunov指数成倍提高，从而增加了系统对初始值的敏感性。

图1 Logistic映射和级联系统的分叉图

综上，Logistic-Logistic级联混沌系统明显改善了系统的动力学特性，可以产生随机性良好、安全性较高的混沌伪随机序列，因此适合用于信息加密或混沌保密通信。

2.2 分数阶混沌系统

分数阶Qi系统［16］的动力学方程为

其中，（a，b，c）T是系统的控制参数向量，（x，y，z）T是系统的状态向量。当系统的阶次q1、q2、q3∈［0.91，1］，且（a，b，c）=（35，8/3，80）时，该分数阶系统是混沌系统。图2给出了分数阶Qi系统的初始变量（x0，y0，z0）=（0.21，0.2，0.011）下的混沌吸引子图。

图2 分数阶Qi混沌系统的相轨迹图

2.3 DNA序列

2.3.1 DNA编解码

一个DNA序列是由腺嘌呤（A）、胞嘧啶（T）、胸腺嘧啶（C）和鸟嘌呤四个不同的核酸基组成，其中A与T、C与G形成碱基互补对。二进制中1和0互补，故11和00，10和01也分别互补。因此，如果用A、T、C、G分别表示二进制数11、00、10和01，则可以得到24种编码方案，其中仅有8种满足Wat⁃son-Crick规则，即碱基互补规则，如表1。

表1 满足Watson-Crick规则的8种DNA编码

一副彩色图像由R、G、B三个通道组成，每个通道的像素值可表示为一个8位二进制序列，其中每两位用一个DNA碱基表示，则8位二进制像素值可用一个长度为4的DNA序列表示。例如，某个单通道的像素值为108，其8位二进制序列为01101100，当它通过表1中的DNA编码规则2进行编码以后，得到的DNA序列为CGTA。解码时利用同一种规则即可恢复原始二进制像素值。但如果采用表1中的其它编码规则，例如编码规则5，则得到二进制序列00111001。显然，它属于DNA编解码中一种简单的加密方法。

2.3.2 DNA加减法运算

DNA序列加减法运算的理论依据为二进制序列的加减法运算法则。8种DNA编码方法分别对应8种DNA加法运算和减法运算。表2和表3给出了编码规则3对应的加法和减法运算法则。从表中可以看出，DNA序列的运算结果有且仅有一个。

表2 DNA编码规则3的加法法则

表3 DNA编码规则3的减法法则

3 算法描述

图像加密流程图如图3所示。

图像加密算法具体过程如下。

步骤一 读入大小为M×N的三维彩色图像，分离R、G、B三基色，形成三个单一的灰度图像矩阵R1、G1、B1。

步骤二 分别将灰度图像矩阵R1、G1、B1的十进制灰度值转换为M×N×8的二进制序列。同时，随机生成整数r1∈［1，8］，根据表1中与r1对应的DNA编码规则，将三个二进制灰度矩阵转换为三个大小为M×N×4的DNA编码矩阵。

步骤三 利用改进的Logistic方程（2），设置3组初始值密钥x0及混沌状态下的参数μ1，μ2分别生成3个混沌序列。将所生成的混沌序列按升序重新排列成三个有序序列，得到3个不同的置乱地址集合。

步骤四 利用步骤三所产生的置乱地址集合，分别对三个DNA编码矩阵进行灰度值置乱操作，记为R2、G2、B2。

步骤五 给定分数阶混沌系统（3）的三个不同初始值（x0，y0，z0），设置混沌系统的控制参数（a，b，c）和分数阶次（q1、q2、q3），迭代若干次后分别产生3个长度为M×N的混沌序列矩阵，并作离散化处理，使混沌序列所有值均在0～255之间，记为S1、S2、S3。

步骤六 将S1、S2、S3中的每一个数值转换为8位二进制序列。同时，根据r1转换成3个DNA编码序列。

步骤七 将步骤六得到的分数阶混沌DNA编码矩阵，与置乱后的DNA编码图像R2、G2、B2进行DNA序列加法运算，得到R3、G3、B3。

步骤八 随机生成整数r3∈［1，8］，由r3对应的编码规则确定R3、G3、B3的DNA解码，得到三个二值矩阵，合并R、G、B三个通道，得到彩色加密图像E（M，N，3）。

解密过程是加密过程的逆运算，确定与加密过程相同的密钥，即可恢复原始图像。

4 仿真结果及安全性分析

4.1 仿真结果

选取大小为256×256×3的Lena标准彩色图像进行测试，如图3（a）所示。Logistic-Logistic级联系统（2）的控制参数和初始变量分别为μ1=4，μ2=0.7，x01=0.1003，x02=0.2403，x03=0.5001。分数阶 Qi系统（3）的控制参数为a=35，b=8/3，c=80；初始变量设定为 x0′=2.421150004000001，y0′=-3.560590000301，z0′=2.478340005001；分 数 阶 次 选 取 ：q1=0.98001000031， q2=0.9722104005001， q3=0.9920300110001。DNA编码规则的编号r1、r2随机生成。本文算法以（μ1，μ2、x01、x01、x01、x0′、y0′、z0′、q1、q2、q3、r1、r2）作为密钥。仿真后的密文图像如图 3（b）所示。由图3（b）可知，加密后的密文图像杂乱无章，完全不同于明文图像。图3（c）为正确解密后的图像，与原始明文图像完全相同。

图3 算法中的明文、密文及正确解密的图像

4.2 安全性分析

4.2.1 密钥安全性分析

本文算法密钥为μ1、μ2、x0、x0′、y0′、z0′、q1、q2、q3、r1、r2和r3。如果以计算精度为1015作估计，密钥空间至少可以达到（1015）12=10180，由此可见，本文算法密钥空间足够大，能够较好地抵抗穷举攻击。此外，如果对算法密钥作微小的改变，例如将初始变量x0′修改为2.421150004000002，其它参数不变，运用本文算法得到的解密图像仍然杂乱无序，不包含任何明文图像信息，如图4（a）所示。又如，分数阶次q1作轻微扰动，令q1=0.98001000030002，其它密钥不变，解密图像如图4（b）所示，仍然得不到正确的明文图像。因此，本文提出的算法具有极强的密钥敏感性。

图4 错误解密的图像

4.2.2 灰度直方图分析

图5所示为明文图像的R、G、B分量直方图；图6为密文图像的R、G、B分量直方图。从图5和图6可以看出，密文图像的灰度直方图趋于均匀化分布，完全不同于明文图像的分布规律，这表明密文图像的像素灰度值在区间范围内取值概率是均等的，从而验证了本文算法具有良好的扰乱性和统计特性，达到扩散和混乱的目的。

图5 明文灰度直方图分析

图6 密文灰度直方图

4.2.3 差分攻击

分别通过像素变化率（NPCR）和归一化平均变化强度（UACI）［13］来判断本文算法的抗差分攻击能力。其中，NPCR表示对明文图像某一像素作微小改变，密文图像所改变的像素数占总像素值的比例。UACI表示明文图形和密文图像对应像素点平均强度的变化率，式（5）和式（6）分别为NPCR和UACI的计算公式。

其中，J1（i，j）和J2（i，j）表示只有一个像素之差的两个密文图像 J1、J2在（i，j）处的像素值，定义矩阵 D是一个和J1、J2同样大小的二值矩阵，若J1（i，j）=J2（i，j），则 D（i，j）=1；否则，D（i，j）=0。

改变明文图像的B层第一个像素值，由式（5）和（6）可以计算：NPCR=94.28%，UACI=34.27%。对于一个理想的加密算法，像素变化率应足够大，而归一化平均变化强度应尽可能小。而针对上面所求NPCR和UACI的结果可知，明文图像改变一位像素值，可以引起密文图像几乎完全改变，所以本文加密算法的抗差分攻击能力强。

4.2.4 相邻像素点的相关性分析

相邻像素点的相关性越小，表明其抵御攻击能力越强。为了测试算法的抗攻击能力，分别从明文图像和密文图像中随机选取3000对像素点，按照式（7）～（10）计算两相邻像素点的相关性，相关系数rxy结果如表1所示。

表2 明文和密文中两相邻像素点之间的相关系数

由表2可知，明文图像在各个方向上的相关度趋于1，表明相邻像素点密切相关；而密文图像的相关度几乎接近0，邻近像素点间几乎不相关。这表明明文图像的统计特性已被扩散到密文图像当中，从而验证了加密算法良好的扩散特性。

5 结语

基于分数阶混沌系统和DNA编码技术，本文提出一种新的图像加密算法。首先利用级联混沌系统产生的混沌系列置乱彩色图像；然后利用分数阶混沌系统和DNA运算法则对置乱图像进行像素的混乱和扩散，得到密文图像。算法仿真结果表明，该算法不仅与密钥相关，且与明文图像相关，因而随机特性大大增加，且可以抵御各种攻击。因此，本文算法具有很高的安全性，适合于彩色图像的安全实时传输。