浅析矩阵填充方法

钟宜梅

摘要：矩阵填充的要领是通过低秩矩阵中的已知要素还原出该矩阵的其他未知要素的进程.这几年，关于矩阵填充方法的理论研究成为压缩感知技术的一个研究热点.在实际的应用领域中涉及对高维数据的分析与处理，可以运用矩阵填充的方法来解决。其过程主要是：通过观测到的局部数据来准确填充缺失数据，从而获得完整数据矩阵的过程。该文先介绍了压缩感知技术、矩阵填充方式的低秩矩阵填充、鲁棒主成分分析两种矩阵填充方式的数据模型的典范应用，并预测了压缩感知知识将来探索的领域。

关键词：压缩感知； 矩阵填充； 低秩矩阵填充； 鲁棒主成分分析；稀疏

中图分类号：TP3-05 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2018）23-0270-02

Abstract： The matrix filling method is a process of recovering other unknown elements of the matrix by using known elements in the low rank matrix. In recent years， theoretical research on the matrix filling method has become a research hotspot of compressive sensing technology. In practical applications It involves the analysis and processing of high-dimensional data. It can be solved by matrix filling. This paper introduces the data model of two matrix filling methods： compressive sensing， matrix filling， low rank matrix filling， and robust principal component analysis. Typical applications and outlook for future research in the field of compressed sensing. Applying the matrix filling method to actual production applications can speed up the processing of data and has profound implications for engineering projects.

Key words： compressed sensing； matrix fill； low rank matrix fill； robust principal component analysis； sparse

随着计算机技术的不断发展，大数据、人工智能成为社会中讨论的主流话题，而这些领域经常是大规模的数据分析与处理。庞大的数据量给应用领域的发展带来了阻碍，即所谓的“高维阻碍（High dimensional obstacle）”。在现实生活中，数据的维度越高，给数据的分析和处理带来了非凡的难度，工作量就会大大增加。为了办理高维灾难，提出了矩阵填充的方法，旨在使数据的维度下降来达到削弱计算量的便利。矩阵恢复利用凸优化来解决，它派生于广为盛行压缩感知理论，是现在广泛运用的数据分析器材，主要有矩阵填充和矩阵恢复问题.[8]本文的主要内容分布为：第一节，简述压缩感知的理论基础；第二节，介绍低秩矩阵填充、鲁棒主成分分析两种关于矩阵填充的理论；第三节，压缩感知技术的以后研究工作做出预测。

1 压缩感知理论

香农采样定理，又名奈奎斯特采样定律，分析其定理信号处理角度，采样和信号重建是该采样定理的两个过程。对于采样，即将连续时间信号转换为离散时间信号；对于信号重修，即将离散信号还原成持续信号。该定理描述了信号采样与信号带宽两者的关系。为了使恢复出来的模拟信号不失真，采样频率应该高于模拟信号频谱中最高频率的一倍。但如若遵照香农定理会致使产生海量的采样数据，大大增加了存储和传输量。

压缩感知作为一种快速、有效并且低成本的信号采集算法，跨越了奈奎斯特采样定理的约束，得出信号的采样速率并不由信号带宽决定，而信号中的结构和内容为重要因素[10]。压缩感知（Compressive Sensing，简称cs）理论是2006年由Donoho等科学家提出的介于数学和信息科学的新方向，信号是稀疏的作为前提条件，采用观测矩阵对其进行投影变换，因而变换得成一个低维度的信号，然后基于少量投影运用重构算法得出近似的原信号。该理论不同于香农采样之处是将采样与压缩过程合并一同处理，因而就直接从连续时间信号采样得到压缩样本，再在信号处理过程中使用优化算法处理压缩感知样本，从而获得所需信息。相比于之前的压缩方法大大简化了操作步骤。运用压缩感知理论的主要准备有：一是将稀疏的信号在观测向量上投影得到观测值，二是利用重构算法（如OMP、SP、Cosamp或者IHT）由观测值重构信号，使信号损失量最少。

3 应用与展望

网络不断发展，信息的产量也越来越大，数据挖掘和处理被研究者作为一种重要的信息资源。但是当信息受到干扰或者数据的不完整性将导致数据的处理之后达不到预期的好效果。比如，常见的警察办案时，当嫌疑人面部遮挡的时候，传统的人脸识别方法就会失效。因此，数据信息的恢复对我们的生产生活变得尤其重要[4]。合理利用高维数据结构有利于实现大数据、人工智能领域的蓬勃发展，提出的压缩感知中矩阵填充的方法便利了数据的处理过程。压缩感知、低秩矩阵填充、鲁棒主成分分析等新的大规模的分析与处理方法定会在更多的实际应用中发挥作用[3]。对于鲁棒主成分分析的典型实例是分离视频中的背景与目标和分离歌声与背景音乐等。低秩矩阵填充的典型实例有图像修复[6]。人脸识别中高维人脸图像是常见的数据，可以运用矩阵填充的方法将连续遮挡或损毁的区域恢复出来且效果非常好。矩阵填充的方法在压缩感知未来的理论和實践研究中会有着更多更大的用处。

信号的稀疏性是压缩感知得以普遍的前提。本文浅述了压缩感知的理论其中普遍应用的矩阵填充的方法。目前关于压缩感知的研究也越来越广泛，其几大要点[7]：

（1）稀疏表示未知信号。这是前提条件，也使得重构的效果更加优秀；

（2）设计观测矩阵。设计观测矩阵的要义是在降低维度的同时让信号X的信息损失降到最低；

（3）设计重构算法。设计出重构效率高重构时间短的算法非常有益。

参考文献：

[1] Cand`es E J， Romberg J， Tao T. Robust uncertaintyprin-ciples： exact signal reconstruction from highly incomplete frequencyinformation[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2006， 52（2）： 489?509.

[2] Cand`es E J， Tao T. Decoding by linear programming[J].IEEE Transactions on Information Theory， 2004， 51（12）： 4203?4215.

[3] 彭义刚，索津莉，戴琼海，等.从压缩传感到低秩矩阵恢复：理论与应用[J].自动化学报，2013，39（07）：981-994.

[4] 盛伟.矩阵填充算法研究与应用[D].云南师范大学，2017.

[5] 刘丽霞.矩阵填充的算法研究[D].太原理工大学，2017.

[6] www.pris.net.cn/teacher/lichunguang

[7] 焦李成，杨淑媛，刘芳，等.压缩感知回顾与展望[J].电子学报，2011，39（07）：1651-1662.

[8] 李文浩，武龙冬，李丽娜.矩阵填充理论概述[J].科技展望，2015，25（27）：17.

[9] 赵玉娟，郑宝玉，陈守宁.矩阵填充及其在信号处理中的应用[J].信号处理，2015，31（04）：423-436.

[10] 赵玉娟. 压缩感知和矩阵填充及其在信号处理中应用的研究[D].南京邮电大学，2015.

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