一类具退化强制的椭圆方程在加权Sobolev空间中重整化解的存在性

代丽丽

(通化师范学院 数学学院, 吉林 通化 134002)

0 引 言

近几十年来, 数学工作者十分关注偏微分方程尤其是非线性椭圆方程解的存在性、唯一性、正则性等问题.本文在加权Sobolev空间框架下，研究一类带有退化强制项的非线性椭圆方程

(1)

H1a(x,ξ)={ai(x,ξ)}1≤i≤N： Ω×RN→RN是一个Carathéodory向量值函数， 对任意的x∈Ω， 每一个ξ∈RN有以下不等式成立：

(2)

(3)

[a(x,ξ)-a(x,η)]·(ξ-η)>0,ξ≠η∈RN,

(4)

H2g(x,s)是一个Carathéodory函数，对几乎所有的x∈Ω， 每一个ξ∈RN，且对任意的k∈R+， 有

g(x,s)·s≥0，

(5)

sup|g(x,s)|=hk(x)∈L1(Ω).

(6)

H3ω={ωi(x)}0≤i≤N是一个在Ω上几乎处处严格正的可测权函数向量, 满足

下文将从两方面来陈述所研究问题的特点. 首先，与其他文献最主要的区别是，本研究的椭圆问题(1)在加权的Sobolev空间，权函数的引入，使得嵌入关系发生了很大的变化，这给问题的解决带来了一定的困难. 另外，很多文献关注了与式(1)类似的问题[1-7]，文献[1]考虑了在空间不加权的框架下，当p=2，0≤γ<1，f∈Lm(Ω)且g(x,u)=0时f可积性的变化对u正则性的影响. BOCCARDO等[8]同样在空间不加权的情形下，研究了当g(x,u)=u,f∈Lm(Ω)时问题(1)解的存在性与非存在性. CROCE等[6]证明了在空间不加权的情形下，当g(x,u)=|u|q-1u时，存在解u∈Lq(Ω)，并讨论了指标q对解u正则性的影响.

1 准备知识

首先，介绍常指数情形下加权Sobolev空间的相关知识[9].

(1)Lp(Ω,γ)空间

其中γ为权函数, 赋予以下Luxemburg范数：

赋予范数

定义在X上的范数为

(3) 加权的Hardy型不等式

进而，X紧嵌入Lq(Ω,σ)中. 有关加权的Hardy不等式例子可参见文献[10-11] .

其次, 介绍截断函数的相关知识.一般情形下, 对于在R中的s,k,其中k≥0, 高度为k的Truncation函数[12-13]定义为

鉴于其重要性，给出其简图，见图1.

图1 Tk(s)Fig.1 Tk(s)

Marcinkiewicz空间的定义由BÉNLIAN等[14]提出.

定义1若一个可测函数f： Ω→R相应的分布函数φf(k)≤meas{x∈Ω： |f(x)|>k},k>0,满足

φf(k)≤Ck-q,C为常数，

则称f属于Marcinkiewicz空间Μq(Ω).

下面给出问题(1)重整化解的定义, 此定义在带有扩散项的微分方程理论中是非常经典的.

定义2若满足

(2)g(x,u)∈L1(Ω)，同时

(7)

(8)

2 重整化解的存在性

定理1假设H1～H3成立，f∈L1(Ω)，则问题(1)至少存在1个重整化解u.

证明分5步完成.

第1步逼近问题及先验估计.

先建立问题(1)的逼近问题. 对n∈N, 设un满足

(9)

(10)

接下来,对解序列un做一些先验估计, 选取式(9)中Tk(un)(k>0)作为检验函数, 则有

(11)

由于Tk(s)与s同号，结合式(5)，式(11)左端第2项为非负项，去掉非负项可得

考虑式(3)，并选取n>k，有

(12)

因此，对所有的k>0，有

(13)

如果k≥1,有

(14)

由加权Hardy不等式，同时结合式(14)以及σ1-q′∈L1(Ω)， 当k≥1，p>γ+1时， 有

其中C为常数， 当0

meas{|un|>k}≤|Ω|，

(15)

第2步un在Ω上几乎处处收敛.

先证un依测度收敛. 注意到对任意的k,ε>0, 有

{|un-um|>t}⊂{|un|>k}∪{|um|>k}∪

{Tk(un)-Tk(um)|>t},

即

meas{|un-um|>t}≤meas{|un|>k}+

meas{|um|>k}+meas{Tk(un)-Tk(um)|>t}.

(16)

由此可知，Tk(un)是在Ω中依测度收敛的柯西列. 那么，对任意的ε>0，存在k(ε)>0，当m，n充分大时， 并结合式(16)可得，un是一个依测度收敛的Cauchy序列，因此，un依测度收敛[16]. 根据Riesz定理，un存在一个子列(仍记其本身)以及一个可测函数u，使得

un→u在Ω上几乎处处收敛.

(17)

联合式(13)和(17)，对任意的k>0，有

(18)

Tk(un)→Tk(u)在Ω上几乎处处收敛.

(19)

第3步gn(x,un)在L1(Ω)中强收敛.

证明

gn(x,un)→g(x,u)于L1(Ω)中强收敛.

(20)

图Fig.

整理后可得

由式(3)可知，上式左端第1项为非负项，去掉非负项，有

注意到式(15) 以及fn在L1(Ω)中强紧，有

设ε>0，存在l(ε)≥1，使得

(21)

对于Ω中的任何可测子集E，有

注意到式(6)， 存在η(ε)>0， 满足meas(E)<η(ε)，使得

(22)

gn(x,un)→g(x,u)于L1(Ω)中强收敛.

Tk(un)-Tk(u))dx.

(23)

方便起见，将式(23)记为

I1+I2=I3,

同时定义εn,h为

关于I2，I3，结合式(17)和(20)，以及fn在L1(Ω)中强紧，有

Tk(u))dx=εn,h，

(24)

(25)

关于I1，令M=4k+h，易知当|un|>M时，

I1可化为

去掉上式右端第2个非负项，有

并对右端第1项进行整理，可得

I1≥

I11+I12+I13.

I12=εn.

(26)

关于I13，可整理为

令n>M，当n→∞时，

I13=εn.

因而， 结合I12，I13的估计式，I1可整理为

I1≥

综上，注意到式(24)和(25)， 对n>M>h>k，有

εn,h=I1≥

考虑到式(4)，则有

Tk(u))dx=0.

于是可得， 当n→∞时， 有

Tk(un)→Tk(u)于(Lp(Ω,ω))N中强收敛.

(27)

第5步u为重整化解.

选取unζ作为式(9)的一个检验函数，其中ζ∈D(Ω)，且S∈W1,∞(Ω)具有紧支集，有

(28)

由于fn在L1(Ω)中是强紧的，且S(un)ζ在L∞(Ω)中有界，结合式(17)和(20)，当n→∞时，可得

因为函数S，S′具有紧支集，那么存在L>0，使得suppS⊂[-L,L]， suppS′⊂[-L,L]. 当n充分大时，结合式(9)和(17)，有

注意到式(2)和(27)，当n充分大时，有

综上，对式(28)在n→∞时取极限，可得

此式等价于式(8).

令j→∞，即可得到