用“代数表示”揭示“图形变换”的内涵

2018-11-23孟男郭爽

科教导刊·电子版 2018年31期

孟男　郭爽

摘要本文结合初中数学教学，提倡数学教学要引导学生追寻数学原理，探究数学思维发展的本源，培养学生将代数与图形有机结合，用“代数表示”研究图形的位置和运动的研究数学问题的思想方法。

关键词图形变换代数表示

中图分类号：TP391.4 文献标识码：A

在数学发展的相当长的时期内，算术是几何的附庸，笛卡尔和费马将数与图形有机的结合在一起，开创了图形的数量化研究，实现了根本性的转变，图形数量化研究的基础是坐标系，其研究领域主要包括图形的位置和图形的运动，这便是解析几何的基本思想内涵。解析几何的核心思想就是建立一个参照系，借助参照系通过对数量分析的方法研究几何图形及其变化。

在我们的初中的培优教学中，应该引导学生感知这种图形的数量化研究的思想和魅力，这将为学生今后高中甚至于大学之后的数学学习产生深远影响。以华师版七下教材为例，教材中介绍了三种刚体运动：轴对称、平移、旋转，都可以用代数表示的方法加以研究。

（1）那么如何对三种变换进行代数表示呢？

比如，我们可以借助数轴为参考系，通过数形结合，形象直观的帮助学生借助代数表示描述轴对称和平移运动。

轴对称：在数轴上A点对应的数为a，B点对应的数为b，则点A关于点B的对称点为2b-a；（我们更经常引导学生讨论数轴上一个点关于原点的轴对称点，比如我们经常设置两点到原点距离相等的问题情境）。

平移：A点在数轴上对应的为a；B点在数轴上对应的数为b。

①将A点向右平移m个单位的代数表示为：a+m。

②将A点向左平移n个单位的代数表示为：a-n。

③具体还要根据a、b的大小而进行分类讨论。

例1：如图，已知数轴上点A表示的数为10，点B表示的数为8，点C表示的数是2，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，动点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q与点R关于点C对称，设运动时间为t（t≥0）秒.求PR等于3时，t的值.

【解析】P：10-2t，Q：8-t，R：4-（8-t）= t-4，

当0≤t≤时，PR=10-2t-（t-4）=3，解得t=；

当t>时，PR=t-4-（10-2t）=3，解得t=；

实际上，这种想法也在为学生在八年级和九年级，选取平面直角坐标系为参考系描述函数的轴对称，平移等打基础。

由于数轴上点的运动比较复杂，在教学中，教师可以利用变式透彻原理，比如，一個点的运动，可以引导学生探究点的折返运动、变速运动等不同的问题情境的代数表示；两个动点运动，又可以深入探究两点相遇前后、一点先停、一点折返、两点同时变速、两点不同时变速等多种问题情境下的代数表示；多个点运动根据点与点之间的位置关系进行讨论等等，这些问题的深入探究为今后分段函数埋下伏笔。

旋转：对于旋转运动，我们可以类似于极坐标描述旋转角和线段的长度。

例2：如图，将两个含有30敖堑娜鹊闹苯侨切稳缤嘉恢冒诜牛沟鉊、A、C共线，其中∠BAC=∠ECD=90埃螦BC=∠EDC=30埃缤迹？），连结BD，将△EDC绕点C以每秒6暗乃俣妊厮呈闭敕较蛐钡鉊、A、C再次共线时运动停止，设时间为t（秒）（0≤t≤30），当∠BCD=40笆保髏的值；

【解析】当0

当10

（2）选择不同的变量进行代数表示。

在教学过程中，还要鼓励学生灵活处理，探究同一运动变换中选择不同的参考系和不同的变量进行不同的代数表示。

例3：如图，已知数轴上点A表示的数为8，B表示的数为-6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t（t≥0）秒。

在这个例子中，既可以用P点在数轴上对应的数8﹣6t描述点P的位置，还可以用AP的长6t描述点P的位置，还可以用BP的长描述点P的位置，而用BP的长描述点P的位置时，需要根据这两点位置的不同进行分类讨论。

另一方面，在解决具体问题是，还要引导学生选择最简便的代数表示方法解决问题。

例4：如图，长方形OABC的边OA在数轴上，O为原点，长方形OABC的面积为12，OC边长为3，将长方形OABC沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O′A′B′C′。D为线段AA′的中点，点E在线段OO′上，且OE=OO′，当OD=2OE时，求点A′表示的数。

【解析】根据平移特征AA′= OO′，我们可以设平移距离为x，用含x的代数式进行几何问题的代数表示。这比直接设A′表示的数为x要简便得多。

若向右平移，则AA′= OO′=x，OD=OA+AA′=4+x，OE=OO′=x，