例析黄金代换式在解题中的用法

张同洋

黄金代换式在解天体问题中占有很大的比重.用之，可使问题分析变得更加简捷.不少学生对此式如何使用、在什么时候使用不清楚，本文通过实例对黄金代换式的用法进行归类分析，以示引导，更好地提高学生分析解决问题的能力.

二、用法归类

（一）用于求解中心天体的质量与密度

已知星球半径时，只要求出表面重力加速度，可直接利用黄金代换式求出星球质量，再由密度公式即可求出星球的平均密度.

方法迁移

宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球.经过时间T，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为√3L.已知两落地点在同一水平面上，该行星的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M.

（二）用于求解物体距天体表面的高度

当问题牵涉到地面不同高度或不同星球表面上重力加速度时常用比例法，可以简化

方法迁移

一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s³的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的

（）

A.2倍

B.3倍

C.4倍

D.一半

答案B

（三）用于代换中心天体的質量

在不知中心天体质量的情况下，可用其半径和表面重力加速度来代换.如求解卫星的速度、加速度、周期等.

例3 地球半径为R，地表重力加速度为g，求第一宇宙速度（即近地卫星的速度）.

方法迁移

一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的（忽略地球、星球的白转）

（）

A.2倍

B.4倍

C.8倍

D.16倍

答案C

巩固训练

1.一个登月的宇航员，能否用一个弹簧秤和一个质量为m的砝码，估测出月球的质量和密度？如果能，说明估测方法并写出表达式.设月球半径为R，弹簧秤示数为F.

2.某星球质量是地球的10倍，半径是地球的2倍，太空人在星球上跳起的高度是地球的多少倍（设人跳起的初速度相同）？

3.设地球的半径为R0，质量为m的卫星在距地面R0高处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g0，则以下说法错误的是

（）