换元积分法方法研究与总结

张红，冯驰

摘 要：换元积分法是不定积分教学中的重点和难点。文中详细讨论和总结了换元积分法的常用解题技巧，并实例分析。

关键词：凑微分；拆微分

换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。

1 第一类换元法——凑微分法

Th1 若∫f（x）dx=F（x）+c，？准（x）连续可导，则

∫f（？准（x））？准'（x）dx=F（？准（x））+c。

常见微分凑法：

湊法1 f（ax+b）dx=■f（ax+b）d（ax+b）

凑法2 xk-1f（xk）dx=■f（xk）d（xk）

凑法3 f（sin x）cos xdx=f（sin x）dsin x

f（cos x）sin xdx=-f（sin x）dsin x

f（tgx）sec2 xdx=f（tgx）dtgx

f（ctgx）csc2 xdx=-f（ctgx）dctgx

凑法4 exf（ex）dx=f（ex）dex

凑法5 f（ln x）■=f（ln x）d ln x

凑法6

2 第二类换元法——拆微法

Th2 设x=？准（t）是单调的可微函数，并且？准（t）≠0，又f（？准（t））？准'（t）具有原函数，则有换元公式

常用代换有所谓无理代换，三角代换，双曲代换，倒代换，万能代换，Euler代换等。我们着重介绍三角代换和无理代换。

2.1 三角代换

（1）正弦代换： 正弦代换简称为“弦换”。是针对型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根号。方法：令x=asint，（a>0），■=acost，dx=a costdt，t=arcsin■。

（2）正切代换：正切代换简称为“切换”。是针对型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根号。方法是：利用三角公式sec2t-tg2t=1即tg2t+1=sec2t令x=atgt，（a>0），■=asect，t=arctg■，dx=a sec2tdt，变量变换时，常用辅助三角形法。

（3）正割代换：正割代换简称为“割换”。是针对型如■（a>0）的根式施行的，目的是去掉根号。方法是：利用三角公式sec2t-tg2t=1令x=asect，（a>0），■=atgt，dx=asect·tgtdt。变量变换时，常用辅助三角形法。

2.2 无理代换

若被积函数是■，■…■ 的有理式时，设n为ni（l？燮ni？燮k）的最小公倍数，作代换x=tn，dx=ntn-1dt，t=■，可化被积函数为t的有理函数。

若被积函数中只有一种根式■或■可试作代换t=■或t=■。从中解出x来。

2.3 双曲代换：利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x=1，令x=asht，可去掉型如■的根。dx=achtdt。化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如：

2.4 倒代换：当分母次数高于分子次数，且分子分母均为“因式”时，可试用倒代换x=■，dx=■dt。

2.5 万能代换：万能代换常用于三角函数有理式的积分令t=tg■，就有

3 例题

采用总结的解题技巧对下面例题给予解答。

（1）解：设x=■sec t并限制0

则

本题同时采用凑微分和拆微分，较为灵活地解决了不定积分问题。

4 小结

换元积分法是数学分析中求积分的重要方法。要求牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式，从而逐步达到快而准的求出不定积分。

参考文献

[1] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法究（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]陈纪修等.数学分析第二版[M].北京：高等教育出版社，2004.5.

[3]翟连林，姚正安.数学分析方法论[M].北京：北京农业大学出版社，1992.

[4]龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释[M].西安：西安交通大学出版社，2000.