正五边形尺规作图方法赏析

江苏省扬州市田家炳实验中学 谢俊峰

尺规作图是起源于古希腊的数学课题。历史上最先明确提出尺规限制的是希腊天文学家、数学家伊诺皮迪斯。由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决。最著名的是古希腊最有影响力的四大数学学派之一——巧辨学派提出的三大著名尺规作图问题：倍立方问题、化圆为方问题、三等分角，当然，这三个问题都已被证明不可能用尺规作图来解决。

尺规作图中有许多有趣的问题，其中作正多边形就是其中一种。大家认为这是一个简单的问题，但在操作中我们知道，正四边形、正五边形、正六边形都比较简单，但到正七边形、正九边形却遇到了很大的困难，最终解决这个问题的是伟大的数学家高斯，他给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积。本文提供正五边形的几种作图方法，供大家赏析。

一、已知圆的半径为r，求作圆的内接正五边形

作法1：如图1，作圆O的任意半径OA1，A1B⊥OA1，并使得连接BO，以B为圆心，BA1为半径作弧截BO于点C，以O为圆心、OC为半径作弧截OA1于点M，以点A1起顺次截取等于OM的弦A1A2，A2A3，…，A10A1，将A2、A4、A6、A8、A10顺次连接，即为圆的内接正五边形。

图1

作法2：如图2，作互相垂直的直径AM，BN，作ON的垂直平分线交ON于点E，以E为圆心、EA为半径作弧交OB于点F，从点A起顺次在圆上截取等于AF的弦，AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A，顺次连接A、A1、A2、A3、A4、A，即得到正五边形。

图2

图3

作法3：如图3，任作圆O的半径OA1，过O点作OA1的垂线OB交圆O于点B，取OB的中点C，作∠OCA1的角平分线CD交于点D，过D点作DA2⊥OA1交圆O于点A2，从点A2起顺次在圆上截取等于 A1A2的弦 A2A3、A3A4、A4A5，顺次连接 A1、A2、A3、A4、A5、A，即得到正五边形。

二、已知正五边形边长为a，求作正五边形

图4

作法2：作边长为a的正方形BFGH，取底边的中点M，然后与右上角顶点G连线；延长底边BF到E，使BE＝BM+MG；分别以B、E为圆心，a为半径画弧，两弧在BE上方交于点A；连接AF并延长与以E为圆心，a为半径的圆交于点D；以D、B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C。依次连接A、B、C、D、E，即为所求的边长为a的正五边形。

三、已知正五边形对角线为m，求作正五边形

作法1：如图5，作任意圆O的内接正五边形A1A2A3A4A5，连接A1A4，在A1A4延长线上截取A1A'4=m，过点A'4作A'4A'3∥A4A3，A'4A'5∥A4A5，过点A'3作A'3A'2∥A3A2，则 A1A'2A'3A'4A'5为所作正五边形。

图5

图6

作法2：如图6，作线段A1A4=m，作，使得连接A4B，以B为圆心，BA1为半径作圆，交A4B于点C，以A1为圆心，A4C为半径作弧，与以A4为圆心，A1A4为半径的弧交于点A2，分别以A1A4为圆心，A4C为半径作弧，交于点A5，以A2、A4为圆心，A4C为半径作弧，交于点A3，依次连接A1、A2、A3、A4、A5，则A1A2A3A4A5为所求正五边形。

上面介绍了正五边形的几种作图方法，大家可以继续去探究其他的作图方法并进行证明。正五边形还有一些近似作法，大家也可以去进一步探索。