复变函数课程教学中比较法的运用

崔汉哲

摘要：复变函数的课程内容与实变函数微积分有密切的联系和重要的区别。以后者为参照物，在复变函数的课程教学中广泛而恰当的运用比较法，可使学生对课程内容有形象而深刻的理解。对提高教学质量和效果有重要作用。

关键词：复变函数 实变函数 微积分 比较法

对于复变函数，情况则非常不同。可以证明，复变函数的解析、可导以及具有任意阶导数这三个条件是等价的。具体而言，即有如下性质——复变函数w=f（z）在某区域内解析（即可以展开为幂级数）←→f（z）在该区域内处处可导←→f（z）在该区域内处处具有任意阶导数。因此在复变函数的教科书中，定义函数可导之后便可引进解析的概念，而不必将其放到级数的内容中。这样做的好处，一是可导的概念学生相对比较熟悉，因而用可导定义解析的方式也较易为学生接受。二是解析是复变函数中核心的概念，较早将其引进有助于学生对整个课程内容的学习和消化。如果在讲述级数之后再引进这个概念，那时早已课程过半，有些太迟了。

教师这样完整交代解析定义的来龙去脉以后，学生便可打消疑惑，并更深刻体会到复变函数与实变函数微积分的区别，为进一步学习打下良好的基础。

三、初等函数的定义

复变函数中的常见初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等。以指数函数为例，我国大多数复变函数教科书中是直接给出定义的。即设z=x+yi，x，y∈R，则将e^z定义为e^x·e^yi=e^x（cos y+isin y）。这里立即出现了一个最基本的问题，也是笔者在课堂上经常会遇到的提问——为何一定要将复变指数函数定义成这个形式呢？能否用别的表达式定义呢？对此，有的课本中略微交代了理由，例如我国某本通行的复变函数教材中是这么写的——复变指数函数应“保持实变初等函数的某些基本性质，遵照这种思想，复变指数函数应定义为在复平面上满足如下三个条件的函数：

（1）当Im（z）=0时，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在复平面内处处可导，因而处处解析；

（3）f‘（z）=，（z）。”

而函数f（z）=e^z（cos y+isin y）恰好满足这三个条件，于是便可将其定义为复变指數函数。这某种程度上回答了上述问题，但还不是令人非常满意。例如笔者在课堂上还会遇到学生进一步提问：满足上述三个条件的函数是否只有现在这一种呢？在满足上述三个条件的前提下能否将复变指数函数定义为其它不同的表达式呢？其实完整回答这个问题并不复杂，教师在课堂上只需花费几分钟的时间便可收到良好的效果。事实上，上述三个条件中的第三个在确定复变指数函数表达式的过程中是多余的，真正需要的是前两个条件。具体而言，我们有如下性质——若复变函数，（z）满足

（1）当Im（z）=0时，f（z）=e^x，其中x=Re（z）；

（2）f（z）在复平面内处处可导；

则f（z）=e^x（cos y+isin y），这里z=x+yi，x，y∈R。类似的，对数函数、幂函数、三角函数等初等函数的定义都由相似的性质决定。而所有这些性质是一条更根本定理的推论——设复平面某区域中的点列（Z_n）收敛到该区域中的某个点，w=f（z）在该区域中处处解析，则f（z）在该区域中的函数值由{f（z_n）}所唯一确定。这一性质为复变解析函数所独有，教师在课堂上请学生略微回忆微积分的内容即可知道，实变函数是不具备类似的性质的。所以这里又体现了复变函数与之前初等微积分课程的区别。这样清楚的回答了初等函数何以必须如此定义的基本问题，学生对本课程的学习兴趣得到了提高，课堂教学也可达到良好的效果。

综上，复变函数作为理工科院校的一门重要的专业基础课，与实变函数的初等微积分有密切的联系，也有重要的区别。如果教师在课堂上能注意运用比较的教学方法，则可使学生在巩固实已有的实变函数微积分知识的基础上，清楚理解复变函数与实变函数的区别，从而深刻把握复变函数课程的精髓。在课堂上也能激发学生的学习兴趣和热情，从而提高课堂教学质量，达到良好的教学效果。