几何概型中的转化与化归

孔德鹏

几何概型较之古典概型要复杂，复杂之处在于基本事件的无穷多，也给满足一定条件的基本事件的度量带来难度，下面，笔者结合具体的实例谈谈如何利用转化与化归的思想解决较难的几何概型问题.

例1 甲乙两人约定好于明天7：00～8：00在新街口见面，先到的人等对方15 min，否则自行离开.请问他们二人见面的概率是多少？

解析 什么叫“约定好于明天7：00～8：00見面”？就是假设两个人都能在7：00～8：00到达，那么如何用数学语言表述？这正是转化的难点——如何引入变量刻画，

“先到的人等对方15 min”是什么意思？先到是在哪个时刻到呢？这样想来，可以假设甲先到，在7：00开始x mln后到，如果两人能见面，那么乙必须在甲等待的15 min内出现，所以如果设乙是y min到，则有y

所以，我们用二元关系刻画基本事件{（x，y）10≤x≤60，0≤y≤60），两人见面这个事件的刻画就是{（x，y）|x

如此，我们将问题转化成了取点，这正是几何概型——基本事件是在给定的平面几何图形内取点，所以用面积计算概率就顺理成章了.

设A为图1中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是60的正方形及其内部.

例2 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1h，乙船停泊时间为2h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率，

解析 这个题目和例1情形类似.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x≤24，0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h以上或乙比甲早到达2 h以上，即yx≥1或x-y≥2.故所求事件构成集合A={（x，y）ly-x≥1或x-y≥2，x∈[0，24]，y∈[O，24]）.

A为图2中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部.

例3在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率，

解析 这个题目的难点还是在于转化，如何用数学语言刻画呢？刻画线段的长度可以引入变量，那么引入几个？两个？还是三个？因为这些线段的和是1，所以引入两个就够了，设x，y表示三段长度中的任意两个，因为是长度，所以应有0

所以o1/2，故图3中阴影部分符合构成三角形的条件.因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的1/4，故这三条线段能构成三角形的概率为1/4.

转化与化归实际上就是把一个陌生的或者复杂的问题转化成简单的或者熟悉的问题，从而解决问题，本文三个典型例题是几何概型中比较难的题目.也希望读者朋友能够通过这几个例题深化对几何概型的理解，提升数学分析和推理能力.下面留了2个练习，供读者思考，

巩固练习

1.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记p1，为事件“x+y≥1/2”的概率，p2为事件“|x-y|≤1/2”的概率，p3为事件“xy≤1/2”的概率，则下列关系正确的是——.

①p1

③p3

2.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5 min到校的概率为____.

参考答案

1.②.2.9/32.