立体几何中的展开问题例说

杨金林

把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题.几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及多面体表面距离的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试.

一、展开后形状的判断

例1把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图1），请根据各面上的图案判断这个正方体是 （）

解析 在图1中，把中间的四个正方形围起来做“前后左右”四个面，有“空心网”的正方形做“上面”，显然是正方体C的展形图，故选C.

二、展开后的数字特征——表面上的最短距离问题

例3 如图4，在长方体中，AB=3，BC=4，CCl=5，求沿着长方体表面从A到CI的最短路线长.

解析 在长方体的表面上从A到C.有三种不同的展开图.

（1）将面ADD1A1绕着A1D1折起，得到的平面图形如图5所示.

（3）将面ADDl A1绕着DD1折起，得到的平面圖形如图7所示：

点评 几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开，将其转化为平面内的最短距离，利用平面内两点之间的距离最短求解.但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图，如长方体的表面展开图等，要把不同展开图中的最短距离进行比较，找出其中的最小值.