一道高考题的探究与思考—以2018年高考全国I卷理科第21题为例

广东省东莞市第八高级中学(523620) 林茂发

经典的函数导数试题,总是给人以启迪,或给人以思考,散发着其独特的魅力,研究高考题自然就成为我们教学研究的一个常规工作!纵观2018年高考新课标I卷,试卷结构与去年一致,整体难度有所降低,函数导数部分约占14.67%.近几年的全国卷中与导数相关的解答题得分率并不高,笔者以2018年高考全国I卷理科数学第21题为例(下面简称“试题”),通过对本题的解析,探讨函数导数蕴含的教育价值,谈谈导数部分的复习思路,期望能对2019年高考复习有所帮助.

1.“试题”再现

例1(2018年高考数学全国卷理科第21题)已知函数.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明：.

导数在高考中有着重要的作用,它信息量大、综合能力强、灵活度高,能比较全面的考查学生的核心素养.本题以函数为背景,主要考查了学生的数学运算、数学抽象、逻辑推理等能力,体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化等思想方法.

2.“试题”的探究

2.1 分类讨论和数形结合的数学思想方法

本题是对数函数与反比例函数的组合,考查了带参数的函数单调性判断、函数的极值和零点、不等式证明构造等问题.直接求导解决第(1)问,由于导函数中含有参数a,可能要进行分类讨论.这是在解答前的思考,解题过程中还会遇到新的困难,需要较强的分析能力和解决问题的能力.

解(I)f(x)的定义域为(0,+∞),且.对于二元一次方程,Δ=a2-4.

①当Δ＜0时,即-2＜a＜2时,-x2+ax-1=0无解,有x∈(0,+∞)时,f′(x)＜0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②当Δ=0时,即a=2或-2时,有x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,则f(x)在(0,+∞)在上单调递减.

③当Δ＞0时,即a＜-2或a＞2时√,-x2+ax-1=0有解,令,则,.

(i)当a＞2时,x1＞0,x2＞0,则f(x)在上单调递减,在上单调递增;

(ii)当a＜-2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.

综上所述,当a≤2时,f(x)在(0,+∞)上单调递减.当a＞2时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.

上述用到了分类讨论和数形结合思想,导数是二次函数这类问题的突破口是：二次函数开口方向→判别式Δ的情况→两个极值点的大小→极值点与定义域的关系,从而化繁为简;分类讨论是解决问题的一种逻辑方法,也是一种数学思想,这种思想不仅对发展学生的思维有着重要的帮助.,也体现了学生逻辑推理、数据分析等数学核心素养.

数形结合即数形渗透,两者相互推进,层层深入,这样就能使复杂问题简单化,抽象问题直观化,是中学数学中常见的解题思想和方法,经常应用在研究函数、解析几何等问题中.在应用数形结合思想方法时往往体现了数学模型建构、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.

2.2 转化与化归的数学思想方法

转化与化归的思想就是将未知解法或难以解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,化归为在已知范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想.本题第(2)问考查不等式的证明,考生在读懂题、审准题的基础上,构造新函数证明不等式是本题的难点,本题可以将结论进行等价转化,结合第(1)问的结论,利用函数的单调性加以证明,会大大降低运算量.

3.近四年导数试题特点

导数是一种特殊的函数,一直高考的热点和重点.它已经成为分析和解决问题不可或缺的工具,它有助于学生更好的掌握函数思想方法.笔者深入研究近四年高考数学全国I卷理科数学试题,发现考查的知识点和数学思想方法有很多相似之处,见表1和表2.

表1

表2

通过上表可知,这几年试题重点考查函数单调性、极值最值问题和函数零点等问题,试题难而不偏,新而不怪.试题中应用了分类讨论、数形结合、函数方程和转化与化归等数学思想方法,考查学生运用知识和方法的能力,逻辑推理能力及分析和解决问题的能力等.全国卷试题符合《考试说明》的“三基”考查,即突出对数学的基础知识、基本技能、基本思想方法的考查,具备高信度、效度,必要的区分度和适当的难度等特点.

4.对函数与导数复习备课的启示

从近四年的全国I卷数学导数试题来看,试题有稳中求变,变中求稳.试题的特点是重视双基,整合性、应用性、文化性和创新性.试题加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力)的综合程度.这类试题或者是函数与其他知识的糅合,或者是多种数学思想方法的渗透,每道考题都具有鲜明的特色,这也给2019年高考理科数学复习备考有所启示.

4.1 重视教材,回归课本

教材是命题的依据,很多题目解题的切入点都是书上的基础知识.要学会总结,学会运用知识的交汇.对于函数与导数,全国卷往往以函数概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值、函数的零点等基本知识为载体,考查学生多种数学的能力.这启发我们高考复习时要注重研究课标与考纲、钻研教材,深刻感受概念、方法的形成过程,深入挖掘函数与导数相关概念的本质,打好解决相应数学问题的知识与方法基础.

例2(2013年高考广东文科卷第21题)设函数f(x)=x3-kx2+x(k∈R).

(I)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;

(II)当k＜0时,求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M.

教材原型(人教A版高中数学教材选修2-2第26页练习1(4))判断函数f(x)=x3-x2-x的单调性,并求出单调区间.

演变过程例2是上述教材原型题的改编题,将二次项系数-1改为参变量-k,一次项系数-1改为+1.例1的第(I)问实质上就是教材习题中的求函数的单调区间,第(II)问是在第(I)问的基础上增加对参数的讨论,求三次函数在给定区间上的最值问题,需要我们熟练掌握含参数讨论求最值问题.从以上的分析中我们可以看出,教材在高考复习中占据着不可替代的地位.教材的例题和习题蕴含着丰富的知识点、数学思想方法和解题技巧,我们若能对一些典型的例题、习题进行认真的深究,历年的各地高考试题很多都源于教材.因此,在高三复习中应以教材为根本,重视教材中例题、习题蕴含的基本方法和基本技巧,并适当加以延伸、拓展,不要让考生留有任何知识漏点.

4.2 强调能力立意,注重通性通法

《考试大纲》提出对数学能力的考查,强调“以能力立意”,这就是以数学知识为载体,从问题入手,把握学科的整体意义,用统一的数学观点组织材料.数学学科高考以数学基础知识、基本能力、基本思想方法为考查重点,注重对数学通性通法的考查,以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力,从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能.

近几年高考数学对导数的要求：“重点考查利用导数的方法研究函数单调性、极大(小)值、最大(小)值,研究方程和不等式.”在导数问题的解决中,逻辑推理能力和数学运算能力贯穿始终.

函数单调性与极值最值问题,通性通法就是求导,通过导数图像从而确定函数的图像,根据逻辑推理确定函数的单调区间和极值最值;含参数的取值范围问题,其通性通法就是直接求解或分离参数.当参数对运算没有造成影响时可以直接求解.

如 2016全国 I卷理数第 21题,已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,求a的取值范围.本题直接求导后f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).直接分类讨论a=0和a＞0即可;但当参数在式子中多次出现阻碍了运算的正常进行时,便要分离参数了,例如2017全国I卷理数21题,已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.第一种方法是分离参数,构造不含参数的函数,研究其单调性、极值、最值,判断y=a与其交点的个数,从而求出a的取值范围;第二种方法是直接对含参函数进行研究,研究其单调性、极值、最值,注意点是若f(x)有2个零点,且函数先减后增,则只需其最小值小于0,且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.

要关注考试大纲,注重在复习备课中总结规律,提炼每一类题型的通性通法.比如利用导数证明不等式恒成立问题时,已知x∈(a,b),求证：u(x)＞v(x)破解此题的关键：一是“构造函数”,通过观察所给的导数等式的特点,联想到导数的乘法或除法的法则,构造新函数;二是“用好性质”,利用导数法判断所构造函数的单调性,即可利用其比较函数值的大小.2018全国I卷理数21题第(2)问用到的就是这个通性通法,因此强调学生数学能力的培养和主要通性通法的总结尤为重要.

4.3 注重数学思想,培养学生数学核心素养

数学思想方法是处理教学问题的指导思想和基本策略,是数学的灵魂,蕴含在数学知识的发生、发展和应用的全过程.2018年1月,教育部发布《普通高中课程方案和各科课程标准(2018年版)》,此次课程标准的修订力度较大,并首次提出凝练“学科核心素养”.要求考生具备较高的数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养,深入考查的数学思想方法包括函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想,近几年高考数学命题很好的诠释了这一要求.例举如下：

2.(2016全国 I卷理数 21题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点,求a的取值范围;

3.(2017全国 I卷理数 21题)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;

4.(2018全国 I卷理数 21题)已知函数f(x)=讨论f(x)的单调性;

以上四年的高考题都含有参数a,需要进行分类讨论.分类讨论不仅是高中重要的数学思想,也是一种解题策略,当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按照某个标准分类,然后对每一类分别进行研究,化整为零,各个击破.

当我们遇到难以解决的问题,可以利用转化和化归的思想.通过观察、分析、联想、类比等思维过程,选择恰当的方法进行变换,化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想.如本文例1的第(2)问,可以把f(x)有两个极值点x1,x2,转化为-x2+ax-1=0在(0,+∞)上有两个零点x1,x2.然后将结论进行等价转化,等价于,构造新函数在结合第(1)问的结论,g(x)在(1,+∞)单调递减,从而g(x)＜g(1)=0,所以,即.

本题在讲解过程中,可以让学生体会“以形助数,以数助形”的数形结合思想,根据参数a的不同取值,以图像为依托,由图形位置确定分类标准,触及问题的本质,达到优化解题的目的.

新高考数学学科提出“以能力立意命题”,正是为了更好地考查数学思想,促进考生数学理性思维的发展.知识的记忆是暂时的,但数学思想方法的掌握是长远的,单纯的解题使学生受益一时,思想方法则将使学生受益终生.高考备考是一个系统工程,每一道高考题都凝聚了命题者的智慧和心血,我们要研究解题过程的思维方法,注意考查不同思维方法的试题的协调和匹配,使考生的数学理性思维能力得到较全面的考查,在科学备考中培养学生的核心素养.