《概率论与数理统计》教学中的美学教育

【摘要】本文介绍了数学美的基本特征，并结合《概率论与数理统计》课的教学实践，论述了在数学教学中如何挖掘数学美的特征进行美学教育。

【关键词】数学教学 美学教育

【中图分类号】O17 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）39-0131-02

大学数学基础课，不但是学生掌握数学工具的主要课程，是学生培养理性思维的主要载体，而且是学生接受美感熏陶的一种途径。如果教师在教学过程中能经常自觉地渗透数学美的思想，这对于不断增强学生的学习兴趣，提高学习效果是大有裨益的。笔者在《概率论与数理统计》课的教学实践中曾经进行过一些有益的尝试，收到了很好的教学效果。

一、数学美的基本特征

数学美是一种科学美，我国著名数学家徐利治教授指出：“作为科学语言的数学，具有一般语言文学和艺术所共有的特点，即数学在其内容、结构和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，数学概念的简洁性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容”。这段话是对数学美内容和形式的精辟论述，统一性、对称性、简洁性和奇异性可以看成是数学美的基本特征。

1.数学的统一美

数学美的统一性，是指数学中部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。数与形本是数学研究的两个独立的对象，对它们的研究，分别构成了代数与几何。然而通过坐标系的建立，使点与数建立了对应，从而把代数研究的对象与几何研究的对象——方程与曲线联系了起来，实现了统一。

从数学发展的规律来看，数学的发展将日益证明数学的统一性。为了使庞大的数学体系变得简单而精确，数学家们经常依据数学各领域的共性，提出统一数学各部分的新观点、新理论。公理化方法、结构思想就是从统一性目标出发而提出的建立数学体系的方法。

2.数学的对称美

大自然以对称方式构造了人，给人自身的美的启迪。籍此，人们发现了一切生物界的对称结构及至天体和大自然中的种种对称结构，进而对称概念上升为一个哲学范畴受到青睐，且促使人们艺术的潜心研究，创造了越来越多的对称。

在数学中，对称概念被严格化、形式化了，从而更加展示了它的美。具有对称性的对象常常具有更多更美的性质，从而更加吸引数学爱好者。特别值得一提的是：对称性常常给我们带来计算和证明数学问题中的许多方便和简单。

3.数学的简洁美

所謂数学美的简洁性，按其内涵有些类似于一般艺术欣赏中所说的浅易美。英国学者威廉·奥卡姆认为在诸多理论中最简单的那个理论，即是最美的理论，而美的理论才能在竞争中取胜。伽利略说过：“数学是上帝来描述大自然的音符。”的确，数学语言本身就十分优美，不可用别的语言来代替。哲学家也承认，世界上没有任何一种语言比数学语言来得更为简洁而确切。如牛顿的力学定律、电磁场的麦克思韦方程、爱因斯坦的相对论公式等等，就其描述的自然规律是何等的深刻、重要而复杂，但它的数学表达式又是何等的简洁！这正是数学语言简洁美的精彩表现。

4.数学的奇异美

数学美的奇异性特征，即在于“新”与“奇”。它正好迎合于人们在艺术欣赏和科学探索中求新求异的心理意境。奇异有时也近乎荒诞，因而奇异性与通常艺术欣赏中所说的荒诞美、滑稽美有些类似。因为奇异之处，容易使人产生崇高感，在数学中对于新奇的领域和新奇的问题，也可以使数学家产生一种神秘莫测的美感。

奇异是一种美，奇异到极度更是一种美，在某种意义上，数学中的和谐性与奇异性是世界的统一性和多样性在数学中的反映。客观世界表现为统一性与多样性的统一，而数学则是和谐性与奇异性的统一。数学美是数学发展的内在驱动力之一。就数学中的奇异性而言，其中颇有一些“意料之外，情理之中”的意味。生活经验也告诉我们，凡是新而不平常的东西，总能在人们的心灵深处感受到一种愉悦的惊奇。同时，人们的好奇心也得到了一定程度上的满足。如果在学习中能引发起学生的这种好奇心，那么就能极大地提高学习的效率。

二、在数学教学中进行美学教育

在数学教学中进行数学美审美教学，应当与数学的理论教学及能力培养相结合，充分揭示数学美的特征，把数学美的教育渗透到数学教学过程中去，寓教于乐，使学生在潜移默化之中获得美的修养。

1.揭示统一美，使学生知识系统化

在数学学习中，学生的思维程序紊乱现象较为普遍。不少学生习惯于用单一的、孤立的方式思考问题，不善于将已学过的知识归纳整理，形成知识系统，往往满足于会解某些类型的题目，忽视进一步的概括综合和挖掘提炼，缺少从整体上把握内容的有效方法。教师如能努力挖掘教材中的潜在因素，充分展示数学美的统一性特征，有利于学生形成良好的知识结构。如在讲解概率的定义时，概率定义的基础是随机试验中频率的稳定性，清楚频率与概率的关系对理解概率论与客观实践的联系十分重要。进一步，又给出了概率论公理化定义，这个公理化结构综合了前人的成果，明确定义了基本概念，使概率论作为一门数学的分支理论更加严谨。

对数学教学中的许多问题，教师应适当引导学生进行统一概括，这样不仅可以浓缩内容，而且易于解决相应复杂的问题。数学教学中应通过揭示数学美的统一性特征，使学生在头脑中建立“知识链”，形成知识网络，使学生学会整理知识的方法；引导学生体会并理解数学在各分支间的统一美，提高思维的概括性以及综合运用知识的能力。

2.展示对称美，消除思维定势的影响

例如事件的运算满足对偶律，它蕴含着丰富的美学因素，A∪B=A∩B，A∩B=A∪B。任何事物的对称本身就已有了美的神韵，从对偶律公式外表来看，它就给人一种美的享受。

教学中不仅要让学生领略这种对称美，更重要的是让学生自觉地运用对称性质解决某些具体问题，以提高分析问题的能力。再如，设随机变量X服从正态分布N（3，4），则使P（X>a）=P（X

在教学中教师挖掘数学美的对称性特征，对学生掌握数学思想方法和训练学生思维的灵活性，消除思维定势的影响，会起到重要作用。目前，数学教学中存在的不注意学生思维过程，不注意知识的发生和发展过程，而一味要学生背题型、套方法的“题型数学”，严重阻碍对学生思维灵活性的培养。因此，让学生树立对称美的意识，教会学生从对立的观点去思考 问题，在思维方向的选择上，既会顺向，又会逆向，灵活运用，具有重要意义。

3.追求简洁美、培养思维灵活性

简洁性这一数学美的特征要求人们在学习数学的过程中，把握事物的主要矛盾，把握事物内部最简单最基本的联系。而思维的灵活性是指在学习过程中，不纠缠于事物的表面现象，能有意识地从本质上和整体上看问题，注意从事物之间的联系和矛盾上来理解事物的本质，克服和减少思维的片面性和绝对化。教师在教学中揭示数学的简洁美特征，能够促进学生思维灵活性与深刻性的发展。

例1：设的（X，Y）联合概率密度为

f（x，y）=24（1-x）y，0

求E（X），D（X），E（Y），D（Y）。

如果先求出X与Y的边缘密度，再求数学期望和方差就比较麻烦，如注意到對于二维连续型随机变量，直接利用联合概率密度计算各分量的数学期望和方差则较简便。

4.寻觅奇异美，培养创造能力

数学教学中教师挖掘奇异美应与培养学生的创造性结合起来。学生在学习过程中，虽然不一定能提出新的科学概念或发现新的理论，但所学的知识对于学生来说都是崭新的、首次遇到的，从这个意义上说，学生的学习过程中是会有创造思维活动的。

例2：一本500页的书中，共有100个错误，假设每个错误等可能地出现在每一页上，试求：

（1）指定的页上恰有3个错误的概率；

（2）指定的页上至少有1个错误的概率。

本题直接用二项分布b（n，p）计算比较繁琐，注意到当n很大，p很小，而乘积λ=np大小适中时，可以用泊松分布π（λ）近似代替二项分布b（n，p），从而简化计算。

新奇才有艺术，“未曾料到”才引人入胜，这也是数学的魅力，数学的美。数学美的内涵是丰富多彩的，但数学美的诸方面应互相结合，只要在教学中努力挖掘数学美的特征，着意培养学生的美感，必能收到良好的审美教育效果。此外，在数学教学中进行数学美的教育，教师本人的审美能力与美学修养也很重要。教学中教师的精炼语言，精辟的分析，生动的表达，巧妙的启发，严谨的推理，讲究的板书等等，都是学生学习审美的榜样。

参考文献：

[1]吴开朗.数学美学 [M].北京：北京教育出版社，1993.

[2]李英英等.概率统计思想方法与解题研究[M].北京：天津大学出版社，2005.

作者简介：

丁巍（1961-），男，辽宁沈阳人，沈阳师范大学副教授，硕士，研究方向：矩阵计算及其应用。