基于比萨斜塔实验的空气阻力对落体运动影响研究

摘 要：在学习伽利略在比萨斜塔所做自由落体实验相关内容的基础上，为进一步研究落体运动规律，考虑空气阻力与物体速度平方成正比，研究空气阻力对落体运动的影响。研究发现，考虑空气阻力落体为变加速度运动，且随空气阻力的增加，落体下降相同距离所需时间逐渐增加。

关键词：落体运动；空气阻力；变加速度；伽利略

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.19.191

0 引言

作为最早定量研究动力学的科学家，伽利略通过比萨斜塔实验、相关斜面实验和严密的数学推理，证明如果忽略空气阻力，不同重量的两个球体自由下落，它们同时落地，推翻了亚里士多德“物体下落速度与物体重量成正比”的观点[1-2]。

在当时的环境下，科学前辈既拥有勇于怀疑和批判的精神，又追求实验验证和数学推理的求实精神，他们的科学精神是人类最宝贵的财富[3]。今天在佩服科学前辈的同时，也可能会产生疑问，在不考虑复杂数学推导的情况下，如果考虑空气阻力，落体运动的又有什么不一样的规律呢？

1 自由落体运动

物体自由下落过程中，如果只考虑重力，则根据牛顿第二定律F=ma，可以知道自由落体运动是加速度为g的匀加速直线运动[4]，因此落体的速度v与下落时间成正比，即v=gt，而下落距离s =0.5gt2。

由此可以知道，自由落体运动与物体的重量或质量无关，也就是不同重量的两个物体自由下落同时落地。在只有重力而没有空气阻力的月球上，美国宇航员将一把锤子和一根羽毛同时释放，证明了伽利略理论的正确性。

2 空气阻力

在地球上，由于空气的存在，锤子和羽毛的落体运动显然会有很大的差异。实际上，当物体与空气存在相对运动时，空气就会对物体产生阻碍力，也就是空气阻力。通常情况下空气阻力F阻与物体和空气相对速度的平方成正比，公式可表示为：

式中系数K与物体的迎风面积、光滑程度和形状有关。由式（1）可知，物体与空气相对速度越大则阻力越大。因此人在行走时，由于速度较小，通常感觉不到空气阻力的影响，而飞行器、高铁、子弹等物体高速运动时，空气阻力将是影响其运动的重要因素。同时，降落伞、羽毛等物体的迎风面积相对较大，空气阻力也相对很大，使其下落过程与自由落体运动差别很大。

3 空气阻力对落体运动的影响

考虑质量为m、瞬时加速度为a的物体在重力和空气阻力共同作用下的落体运动，由牛顿第二定律可知：

分析式（3）可以知道，考虑空气阻力的影响下，落体的加速度由最大值重力加速度逐渐减小到0，然后开始匀速运动。落体的加速度与时间关系曲线示意图如图1所示。根据图1结果可知，空气阻力越大，落体加速度的改变越快。另外，相同材料、相同大小的一个实心圆球和一个空心圆球，可以认为它们下降过程中空气阻力的系数K相同，空气阻力也相同，但由于质量不同，根据式（3），质量大的实心圆球下降过程中，加速度减小的速度比空心圆球的要慢。

通过积分式加速度公式，可以得到落体的速度及下落距离曲线，如图2、图3所示。由图可知，下降初期，自由落体即不考虑空气阻力影响，及大小不同空气阻力落体的速度及下落距离相差很小。这也是在当时计时工具并不发达的年代，伽利略落体实验可以成功的原因之一。

在下落距离足够长的情况下，随空气阻力的增加，落体最终稳定的速度值越来越小，而落体下降相同距离所需时间逐渐增加。

4 结语

（1）与自由落体相比，考虑空气阻力情况下，落体由匀加速运动变为变加速度運动；

（2）下降初期，空气阻力对落体的速度和下降距离影响很小；

（3）随空气阻力的增加，落体下降相同距离所需时间逐渐增加。

参考文献：

[1]赵煦.论对悖论性思想实验逻辑重构的问题及其消解策略—以伽利略的自由落体实验为例[J].自然辩证法研究，2011，27（10）：7-11.

[2]佟华，赵云峰.伽利略在自由落体运动研究中科学方法的运用[J]. 白城师范学院学报，2011，25（10）：62-64.

[3]陈文.新课程中利用物理学史培养学生的科学精神—从“伽利略对自由落体运动的研究”谈起[J].科技信息，2010（11）：299-300.

[4]人民教育出版社 课程教材研究所 物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书 物理1（必修）[M].北京：人民教育出版社，2010：46-49.

作者简介：程子超（2001-），男，山东青岛人，研究方向：物理学。