传统时频分析方法优缺点浅析

摘 要：信号根据其随时间变化的特征可以分为平稳信号和非平稳信号。信号在任意时刻的频率特征都很重要，仅在时间域或频率域分析是不够的。因此选择和改进时频方法，将时域和频域结合起来描述、观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱尤为重要。

关键词：信号；频率；时频

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2018.19.127

0 前言

傅里叶分析方法可以单独从时间域或频率域观察信号，基于傅里叶变换的频谱分析中频谱仅仅是时间平均的频率响应，这一全局变换方式不能很好地分析信号的局部特征。对于非平稳信号，由于信号在任意时刻的频率特征都很重要，仅在时间域或频率域分析是不够的。短时傅里叶变换在分析平稳信号方面比傅里叶变换更有优势。

1 傅里叶变换

傅里叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。傅里叶变换是处理平稳信号的最基本、最经典的方法，傅里叶变换是信号从时间域变换到频率域的重要纽带。傅里叶变换把信号的时间域映射到频率域上进行表示，且具有一一对应的映射关系。傅里叶变换运用如此普遍有一个重要的原因，那就是正弦基函数对小扰动数学方程是一个很好的手段并且为研究这种问题提供了一个合适的框架。

时间函数在时间域的表示如图1（a），其频率随着时间增加而变大，图1（b）是该函数在区间内的倒序，其频率随着时间增加而变小，都是非平稳信号。图1（a）和图1（b）是同一个函数表示的不同序列。从图1（a）和图1（b）分辨不出信号的不同频率成分以及不同时间段的频率大小，即此种情况下信号的时间分辨率达到无穷大，而频率分辨率则为无穷小。图2（a）和图2（b）分别则是这两个信号傅里叶分析后的结果。图2（a）和图2（b）中的振幅谱中可以看到这两个序列具有完全相同的振幅譜，也可以确定信号的频率成分，或者频率范围，但却无法确定频率分量的出现时间及其随时间的变化情况。图3（a）和图3（b）分别则是这两个信号的相位谱，可以从图上明显的看出这两个非平稳信号具有相反的相位谱，但是这个区分也是微不足道的，对实际中信号的处理没有多大的意义。不难看出，在时间域两个信号的波形图完全不同，而经过傅里叶变换后，在频域的特征却基本上一致。这充分说明了傅里叶变换分析方法在分析非平稳信号方面的缺陷。

为了更细致真实的刻画非平稳信号及其时变系统，傅里叶变化是远远不够的，需要对此进行革命性的推广，采取对信号进行局部分析的方法，用时间和频率的二维函数来刻画信号，即对信号进行时频分析。

2 短时傅里叶变换

为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶变换进行了推广乃至根本性的革命。D.Gabor注意到了傅里叶变换存在的缺点，于1946年引入了短时傅里叶变换。短时傅里叶变换对信号实现时频分析的基本思想是：用窗函数将信号的时间域划分成许多的时间间隔，假设窗函数范围内的信号是平稳的，用傅里叶变换分析每个窗函数内的信号部分，通过窗在时间轴上的移动可以得出信号的一组局部频谱，称为信号的时变频谱，即所需的时频分布。

短时傅里叶变换（STFT）实际上是时间序列乘以一个可以平移的时窗后再做离散傅里叶变换（DFT）的结果，其在时频平面上，各处的分辨率是相同的，短时傅里叶变换对信号的分析如图4（a）和（b）所示。

在短时傅里叶变换中对信号进行加窗是很重要的。定义窗函数，非平凡函数称为窗函数，如果。要使

（1）

当，的衰减速度应比快。对于任意的窗函数，下面给出窗函数的中心及半径的定义，它的中心与半径分别定义如下：

不难算出，高斯函数窗的中心与半径分别为0和，因此，窗函数的宽度为2。a的取值不同，高斯窗函数的形状不同，如图5所示。

时间序列由频率不同的信号和合成，如图6所示。下面对信号进行短时傅里叶变换（STFT），图7是信号的短时傅里叶变换（STFT）频谱的三维空间图，图8是信号的短时傅里叶变换（STFT）频谱的二维等值线图。从图7和图8不难看出，信号频率随着时间的变化情况。

3 结语

短时傅里叶变换在傅里叶基础上取得了本质的进展。用短时傅里叶变换分析信号可以在时频窗这个局部范围内观察，时频窗面积反映了时频局部化的程度。短时傅里叶变换在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有的局部分析能力的缺陷。但是，短时傅里叶变换的时间-频率窗的宽度对于高频和低频的局部化的信号是保持不变。它也存在着自身不可克服的缺点，即窗函数选定后，时频矩形窗口的形状就确定了。只能改变窗口在时频平面上的位置，而不能改变窗口的形状。因此，短时傅里叶变换本质上是一种单一分辨率分析，若想改变分辨率，需要重新选定窗函数。这种性质表明，短时傅里叶变换比较适合分析较平稳信号，而不太适合非平稳信号。

参考文献：

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[4]邹红星，周小波，李衍达.时频分析：回溯与前瞻[J].电子学报，

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作者简介：裴跟弟（1986-），男，甘肃天水人，研究生，主要研究方向：浅层地震勘探资料解释。