化动为静，以形定数——一道八年级期末考试题引发的思考

□ 海南白驹学校 朱容云

在初中数学问题的解决中，常见求三角形面积与动点有关的函数关系式等，本文尝试深层挖掘数、形关系，用化动为静的数学思想方法来解决此类问题。下列以一道动点与三角形面积相关的函数关系式的期末考试题展开分析与思考。

一、考题解析

（2017-2018年海口市八年级期末考试题第23题）如图1，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、B两点，直线BC与x轴交于点C（-2,0），P是线段AB上的一个动点（点A、B与不重合）。

（1）求直线BC所对应的函数关系式；

（2）设点P的横坐标为t，△POA的面积为S，

①写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

②略。

图1

本文我们重点分析如何根据已知条件构建S与t的函数模型，并确定函数关系式，再根据动点P的位置直接读出自变量t的取值范围。对于刚接触这类题型的学生，就会考虑由于点P是动点，那么△POA形状就有三种可能性：钝角三角形、直角三角形、锐角三角形，想着套用数学的分类讨论思想来解决问题，那么问题就会复杂化。而这道题的突破口在于的△POA面积，而不是分类谈论形状。

要想求△POA的面积就要回归本质，只需要确定底和高即可。此时，我们需要“化动为静”把动点P的位置就定在图形所给出的位置，当是定点，分析△POA的底和高即可。由题意我们易得知线段长OA在直角坐标系X轴上且是固定值，过点P做OA的垂线段即为△POA的高，这条垂线段不仅仅是三角形的高，而且还是在直角坐标系上的点P的纵坐标的取值。这里“以形定数”的分析问题的思想正好验证了“形离数时难入微”的观点。

根据上面从几何角度的分析我们可以知道△POA的面积和点P的纵坐标相关，但根据题目要求“设点P的横坐标为t，△POA的面积为S，写出S与t的函数关系式”，即题目的要求是写出面积S与P的横坐标t之间的关系，于是我们明确了方向只要理清点P的纵坐标与点P的横坐标t的关系即可解决问题。而点P是线段AB上的一个动点，满足直线AB所对应的函数关系式y=-x+4,我们易得到点P的坐标是（t,-t+4）。这道题的解析步骤如下：由题意得，直线y=-x+4与X轴交点A的坐标为 (4，0),则OA=4。

设点P的坐标为(t,-t+4)

即 S=-2t+8（0＜t＜4）。

二、类型题的来源

（2014—2015年八年级期末考试题第24题）如图2，直线y=x+8交X轴于点A，交Y轴于点B，P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），点 C的坐标为（2，0）。设动点 P 的坐标为（x,y），△PAC 的面积为S。 （1）写出S与x的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）（3）略。

类比上面例题，我们需要“化动为静”把动点P的位置就定在图形所给出的位置，当是定点，分析△PAC的底和高即可。我们易得知线段长AC在直角坐标系X轴上且是固定值，过点P做AC的垂线段即为△PAC的高，这条垂线段等于点P的纵坐标的取值。

通过“以形定数”分析，可以得到这道题的解析步骤如下：

由题意得，直线y=x+8与X轴交点A的坐标为（-8,0）,则 AC=10

设点P的坐标为（x,x+8）

图2

三、改编题的拓展

如图2，直线y=x+8交X轴于点A，交Y轴于点B，P是直线AB上的一个动点（点P与A、B不重合），点C的坐标为（2,0）。设动点P的横坐标为m，△PAC的面积为S。写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围。

我们的学生在做题时，容易用惯性思维分析问题，认为这是类型题，可以类比上面两题，只需要“化动为静”把动点P的位置就定在图形所给出的位置，当是定点，分析△PAC的底和高即可。我们易得知线段长AC在直角坐标系X轴上且是固定值，过点P做AC的垂线段即为△PAC的高，这条垂线段等于点P的纵坐标的取值。于是通过“以形定数”的分析，可以得到这道题的解析步骤如下：

（1）由题意得，直线y=x+8与X轴交点A的坐标为（-8，0）,则 AC=10

设点P的坐标为（m,m+8）

即S=5m+40。

细心的学生会发现题目有所不同，P是“直线”AB上的一个动点，以前我们接触的类型题的点P是“线段”AB上的一个动点。线段不可以延伸，而直线是可以延伸的，没有局限性。所以我们“化动为静”的解题思想不变，但要全面考虑问题，点P在动，纵坐标的取值在改变，面积也跟着变。

点P的纵坐标的取值变化以X轴为分界，X轴上方取值为正，下方取值为负。当点P在X轴上方时，解题步骤如（1）所示：

当点P在X轴下方时，如图3所示分析：

由题意得，直线y=x+8与X轴交点A的坐标为（-8,0）,则 SC=10，设点 P 的坐标为（m,m+8）

即S=-5m-40

图3

四、思想方法的探求

本文我们重点研究满足函数关系式的动点P（在该直线或该直线上的一部分线段上移动），动点P与在X轴上的两个固定点构造的三角形的面积S与动点 P的横坐标的函数模型，并确定函数关系式，再根据动点P的位置直接读出自变量的取值范围。要想求三角形的面积就要回归本质，只需要确定底和高即可。此时，我们需要“化动为静”把动点P的位置就定在图形所给出的位置，当是定点，分析三角形的底和高即可。由题意我们易得知线段长在直角坐标系X轴上且是固定值(设为d)，过点P做底边的垂线段即为三角形的高，这条垂线段不仅仅是三角形的高，而且在直角坐标系上的点P的纵坐标的取值的绝对值。这里“以形定数”的分析问题的思想正好验证了“形离数时难入微”的观点。根据上面从几何角度的分析我们可以知道三角形的面积和点P的纵坐标的相关，但题目的要求是写出面积S与点P的横坐标之间的关系，于是我们明确了方向：只要理清点P的纵坐标与点P的横坐标的关系即可解决问题。而点P是线段AB(或直线AB)上的一个动点，满足直线AB所对应的函数关系式y=kx+b,我们易得到点P的坐标是（x,kx+b）,设直线与X轴的交点横坐标为a，则三角形的面积计算公式为：

五、总结思考

综上所述,在解决与面积有关的问题及动点有关的函数关系式的题目时，恰当地化动点为定点，数形结合建立一个比较形象化的试题背景，可以让学生从不同的角度来感受数学知识中的运动、变化的过程，开拓了学生的视野，丰富了学生的知识。