光折变表面波诱导的薄层波导中的导波模式

刘春阳， 鞠 莹， 宋 德， 母一宁， 杨继凯， 陈卫军

(长春理工大学 理学院， 吉林 长春 130022)

1 引 言

光折变效应是光致折射率变化的简称，它描述的是在空间调制光强或非均匀光强的辐照下，电光材料的折射率随光强的空间分布而变化的现象[1]。光折变材料具有可擦洗、非瞬时响应和短波敏感等特性，被广泛用于光诱导制备波导结构中。当光束衍射效应与光折变效应引起的光束聚焦效应平衡时可形成光折变空间光孤子[2]，它具有写入光功率低(mW甚至μW量级)的特点，能在光折变材料中形成可以长期存储的自诱导波导结构，这已经成为了近年来孤子研究领域的热点问题之一[3-8]。

另一方面，光折变表面波是一种沿着光折变晶体(Photorefractive crystal,PRC)与其他介质界面传输的表面无衍射光波[9]，是光束的自弯曲效应和光束的全内反射相平衡时的一种产物。它可以将光波能量限制在光折变晶体近表面的狭层空间(μm量级)内，使得界面处具有很高的光能量和功率密度，在谐波产生、材料界面特性检测、光通信及光信息处理等方面具有很高的研究价值和应用价值[10-11]。因此，关于光折变表面波的产生与传输稳定性等问题已经引起了国内外科研人员的广泛关注[12-20]。目前，虽然关于体孤子诱导的波导研究非常广泛，但对于光折变表面波诱导的表面波导及其导波模式(导模)的研究尚少。2011年，Usievich等研究了光折变晶体界面处由于非线性表面波和布拉格反射共同作用下的复合波导结构的形成[21]。2012年，Fujihana等成功地在光折变聚合物薄膜中观察到了表面波并利用表面波在光折变聚合物中形成了自写入表面波导结构[22]。2016年左右，南开大学齐鹏飞等详细地阐释了光折变表面波诱导的表面切趾啁啾波导阵列的调控，讨论了入射光波长、背景光、入射角度及外加偏压对波导光栅的影响[23-25]。

本文利用光折变表面波能量被限制在晶体表面狭层空间的特点，将建立扩散非线性机制下光折变表面波诱导的薄层波导模型，推导导模传输的非线性薛定谔演化方程。通过数值方法详细分析薄层波导中导模的产生、特点及其能量变化，并讨论导模演化传输时的稳定性，为非线性表面光波导的制备和应用奠定理论基础。

2 理论模型

假设一束光波在光折变表面波诱导的薄层波导中沿z轴向前传播，光折变晶体薄层被夹在线性介质中间(0≤x≤L′)，类似于三明治结构，如图1所示。设光束沿y轴的宽度远超过x轴，偏振方向平行于y轴，晶体的c轴沿x轴方向，不考虑光折变晶体薄层与线性介质界面的宽度对导模传输的影响。在上述情况下，光波的横向电场分量E(x,z)满足亥姆霍兹方程：

2E+(k0n′)2E=0,

(1)

(2)

图1 光折变表面波诱导的薄层波导结构示意图

(3)

3 数值结果和分析

为了求得方程(3)的稳态解，取光波复振幅为A(η,ξ)=u(η)exp(-ibξ)，其中u(η)是光波的模，b是传播常数(0

或η>L,

(4)

(5)

方程(4)描述的是光波在两侧线性介质中的波动方程，很容易求得解析解u(η)=mexp[(2b)1/2η](η<0)和u(η)=nexp[(-2b)1/2η](η>L)，其中m是描述非线性效应强度的实常数参量，考虑光波在边界处的连续性，参数n的值可以通过求解方程(5)得到边界L处的值u(L)来确定，计算表达式为n=u(L)/exp[(-2b)1/2L]。为了求解方程(5)，可利用边界条件u(0)=m和du/dη|η=0=m(2b)1/2对二阶微分方程进行数值积分。根据光折变表面波理论，光波在线性介质与光折变晶体界面薄层中呈振荡衰减形式，因此可自诱导形成切趾型的波导结构[13,23]。方程(5)也可看成为一个本征值-本征函数问题，b为本征值，构成一个与波导参数p相关的连续的集合，u(η)表示光折变表面波诱导的薄层波导中的导波模式。

为了分析薄层波导中导模的形成，首先需要确定本征值b关于波导参数p的变化关系。利用u和du/dη在边界点η=0和η=L处的连续性，当给定参数μ值时，通过数值方法求得归一化传播常数(本征值)b/p与波导参数p的关系，如图2所示，计算参数为μ=1，L=4，m=1。此时，光波在界面处的全内反射不仅补偿光束的自弯曲效应，还平衡光束的非线性衍射效应。显然，对于给定的波导参数p，将存在与之对应的传播常数b是一个离散点的集合，每一个传播常数的值都对应一种导模，其中一阶导模常被称为基模。随着波导参数的增加，导模的阶数和数量均逐渐增加。从物理作用角度来看，这种现象主要是由波导的宽度增加引起的，即较宽的波导可以形成较多的导波模式。

接下来讨论薄层波导中导模的轮廓变化。当波导参数p给定时，每个本征值b可产生相应的导模，将该传播常数b代入方程(4)、(5)进行数值积分，可以得到波导参数p对应的本征导模。图3给出了波导参数p=10(对应图2中的蓝色圈a～f)时不同传播常数对应的前六阶导模的包络图。可以看出，受光束全内反射和光束自弯曲效应相互作用的影响，导模的峰值振幅被局域在薄层波导中η=0一侧的界面处，即大部分光波能量聚集于该界面处(光折变晶体的-c轴)的波导层中。随着导模阶数的增加，光波振荡的周期变短，光波的峰值振幅减小且导模在薄层波导中呈衰减振荡(η从0→L)形式。

图2 导模存在时归一化本征值b/p与波导参数p的关系，其他参数μ=1，L=4，m=1。

图3 波导参数p=10时前六阶本征导模的包络图，对应图2中的蓝色圈a～f，黑色实线表示的是波导折射率的轮廓。(a)1～3阶导模，b=[9.6 8.9 7.7]；(b)4～6阶导模，b=[5.9 3.9 1.3]。

图4 波导参数p取不同值时导模的轮廓，对应图2中的红色圈g～l。(a)p=6时的1～3阶导模轮廓，b=[5.64 4.98 3.84]；(b)p=12时的4～6阶导模轮廓，b=[10.65 8.55 5.7]。其他参数为：μ=1，L=4。

此外，数值结果还表明，波导参数p也可以影响导模的振幅。作为对比，分别取p=6和p=12时对应的部分本征值b对方程(4)、(5)进行求解，图4(a)给出了p=6(存在前五阶导模)时对应的前三阶导模的包络，图4(b)给出了p=12(存在前七阶导模)时对应的4～6阶导模的包络。可以看出，相同阶数导模的振幅随波导参数p单调递增(对比图3和图4)，同时，导模的能量也随着p的增加而增加。因此，可通过调整波导参数的大小来控制导模的能量和阶数。导模的能量主要由3部分组成，分别位于η<0(能量w1)、0≤η≤L(能量w2)和η>L(能量w3)，总能量w为这3部分之和，其表达式为：

(6)

图5给出了光波在线性介质与光折变晶体界面传播时前六阶导模能量w随传播常数b的变化曲线(参数p=10，μ=1)。在该波导结构中，导模能量的主要部分位于0≤η≤L的波导区域内。根据著名的Vakhitov-Kolokolov(VK)稳定性判定准则[13]可知，导模可以稳定传输的必要条件是w′(b)>0。从图5可以看出，当传播常数为一阈值时，导模的能量出现一个最小值，当b小于这一阈值时，导模的能量w随传播常数b单调递减，当b大于这一阈值时，导模的能量w随传播常数b单调递增。当b取一定值时，随着阶数的增加，导模的能量逐渐减小。

为了验证导模在w′(b)>0时的传输稳定性，采用分布傅里叶法对图3中的前四阶导模在光折变薄层波导中的传播进行演化，结果如图6所示。需要说明的是，光波演化时在入射端都施加了10%的高斯随机扰动。可以看出，阶数越高，波导的宽度越窄，可传输导模的能量越低，无论如何，导模在传播过程中始终可以保持形不变传输。因此，当光波在界面处的全内反射效应与光束的衍射和光折变晶体中扩散非线性引起的自弯曲效应完全平衡时，导模就可以在这种光折变表面波诱导的薄层波导中稳定地向前传播。

图5 前六阶导模能量随传播常数的变化曲线，参数μ=1。

图6 传播常数较大时前四阶导模在高斯随机扰动10%情况下的稳定传输图，参数p=10，μ=1，L=4。

当w′(b)<0，即b较小时，图7给出了基模的包络和扰动传输图(传播了100个衍射长度)，显然，这种情况下的导模也可以稳定传输，即对于所有的传播常数而言，导模均可以稳定传播。值得注意的是，当传播常数较小时，导模在两侧的线性介质中的能量分布相对较多。因此，在给定条件下，可以通过调整传播常数的值控制导模的阶数或传播波形[20]。实际中光波的传播常数可通过改变介质的折射率和光波入射条件来调整，而波导参数主要取决于相邻介质的折射率之差。

图7 传播常数较小时基模在高斯随机扰动10%情况下的稳定传输图，参数p=0.5，b=0.1，其他参数与图6相同。

4 结 论

采用数值方法研究了扩散非线性机制下光折变表面波诱导的薄层波导中导模的产生与传输。结果表明，当波导参数p给定时，可以存在许多不同的导波模式，当波导参数增加时，导模的阶数增加，导模的振幅也单调递增，然而导模的包络越来越不对称且在光折变薄层波导中呈衰减振荡形式。当传播常数b给定时，导模的能量随阶数的增加而减小，导模能量主要集中在靠近线性介质与光折变晶体的一侧界面(-c轴)处。通过对输入的导模添加随机扰动并进行演化传输发现，导模可以在光折变薄层波导中稳定传输。总之，光折变表面波诱导的薄层波导中导模的振幅、能量、阶数等特性可以通过调整波导参数和传播常数而控制，且导模可以稳定传播。