浅谈初中数学中的类比思想

广东省广州市聚德中学(510000) 江韵怡

关键字 类比;探究;相似;数学思想

古语云:授人以鱼,只供一饭.授人以渔,则终身受用无穷.教师教授知识,更重要是要教授学生探究知识的思想方法,新《数学课程标准》指出“数学教学活动中教师的主要职责是激发学生学习数学的积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探求和合作交流中真正理解掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”,因此,如何在日常教学中拓展和培养学生的数学思维能力,成为数学教学活动的一个重要环节和重要的课题.

“类比”作为一种重要的思维方法在数学教学中有着特殊的作用.类比是根据两种或两类对象在某些方面的相似,得出它们在其他方面也有可能相似的结论.它是一种创造性的数学思想方法.在初中数学教学过程中,应特别关注对学生思想方法的灌输和培养,在这里简单谈谈初中数学教学过程中如何渗透和应用类比思想.

一、新课教学中的类比

维果斯基的“最近发展区理论”,认为学生的发展有两种水平:一种是学生的现有水平,指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平,也就是通过教学所获得的潜力.两者之间的差异就是最近发展区.教学应着眼于学生的最近发展区,为学生提供带有难度的内容,调动学生的积极性,发挥其潜能,超越其最近发展区而达到下一发展阶段的水平,然后在此基础上进行下一个发展区的发展,而在新课中进行类比教学,就是联系新旧知识,降低学习新知识的难度.

1.概念类比

“一元一次方程和一元一次不等式”

_名称_____一元一次方程_______________一元一次不等式____________定义含有一个未知数,并且未知数_____________________________________次数是一的整式方程含有一个未知数,并且未知数数次数是一的不等式________性质(1)等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式,等式仍然成立.(2)等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外),等式仍然成立.(3)等式两边同时乘方(或开方),等式仍然成立(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)(0除外),不等号的方向不变.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的_______________________________________________________________________________________________方向改变.

不难发现一元一次方程与一元一次不等式无论在定义与性质还是在解法方面都有非常类似的地方,在教学时适当进行类比可以降低教学难度,学生轻松掌握知识点.另外也可以用图示的方法进行概念之间的类比,例如在教授一般的平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念时可以进行如下图示类比:

概念知识枯燥难懂,在新课的教学中运用类比推理探究的思想方法,让学生在学习新知识的同时能温故旧知识,降低了学习的难度,使得学生克服学习数学的恐惧感,提高学生学习数学的信心,

2.定理类比

数学定理短小精悍,其中的内容必须细细斟酌才可以领会其中的精粹,同时又因为数学语言的简练,使得学生难以体验和理解定理,甚至会出现定理之间的混淆,例如我们在教授平行公理和垂直公理时,学生会把两个定理之间的条件张冠李戴.

平行公理:过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行

垂直公理:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

又如全等三角形与相识三角形的判定定理类比:

_______________________________________________________全等三角形 相识三角形______判定定理_1____三边对应相等(SSS)_______三边对应成比例___判定定理2两边对应相等,对应________________________________________________夹角相等(SAS)两边对应成比例,对应夹角相等______判定定理3两个角对应相等,一条_____________边_________________________________________对应相等(ASA.AAS)两个角对应相等

二、类比解题思路

所谓类比解题思路,就是运用类比方法,通过比较两个对象或问题的相似性,得出新的数学知识的命题或方法的思路.从而轻松解决问题.

在线段中点与角平分线的教学中,可以发现它们之间有非常类似的特点,有一些题目惊人地相似,运用类比思想,可以让学生轻松解决一些变式题型.

例如两道题目:

题目1(线段中点)如图1,点C在线段AB上,点M、N分别是AC、BC的中点.

图1

(1)若AC=8cm,CB=6cm,求线段MN的长;

(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a,其它条件不变,你能猜想MN的长度吗?写出你的结论并说明理由;

(3)若点C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b,M、N分别为AC、BC的中点,你能猜想MN的长度吗?请画出图形并写出你的结论(不必说明理由).

题目2(角平分线)如图2,OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线.

图2

(1)如果 ∠AOC=48°,∠BOC=42°,求∠DOE的度数;

(2)如图∠AOB的大小不变,与(1)相同,而射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转,∠DOE的大小是否发生变化?若不变,请求出其度数;

(3)如果∠AOB的大小仍不变,而射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转(∠AOC不大于90°),OD是∠AOC的平分线,OE是∠BOC的平分线,请画出相应的图形,此时∠DOE的大小是否发生变化?并说明理由.

显而易见,以上两个题目无论是出题的方向,题目的结构,解题的思路都是非常类似的,第一问运用具体数据让学生感知到两中点间的距离等于全长的一半,第二问运用抽象字母推导出第一问的结论,第三问将题目进行变式拓展,学生自己动笔画图探究新的结论.学生运用线段中点,线段和差的知识,通过类比就可以轻松解决角平分线的相关题型.

三、变式类比联想

所谓类比联想,就是在联想的基础上对两个或两个以上的事物进行比较,找出它们之间的共同点,进而受到新的启示,产生新的思路,从而产生新的解决问题的方法.

题目3(2010·荆门)如图3,MN是⊙O的直径,MN=2,点A在⊙O上,∠AMN=30°,B为弧AN的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为___.

图3

本题从题目上看纯粹是一道运用圆的知识解决线段的和差问题,但是在具体操作中却很难获得突破口,很难具体求解出PA和PB的值,但是如果我们可以从PA+PB的最小值这个线段和的最小值问题上类比联想到我们之前学过的轴对称中最小距离这个知识的,找到点A的对称点,以上题目的解题思路我们就可以迎刃而解了.

首先作A关于MN的对称点Q,连接MQ,然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答.

图4

解作A关于MN的对称点Q,连接MQ,BQ,BQ交MN于P,此时AP+PB=QP+PB=QB,根据两点之间线段最短,PA+PB的最小值为QB的长度,连接AO,OB,OQ,因为B为弧AD中点,所以 ∠BON=∠AMN=30°,所以 ∠QON=2∠QMN=2×30°=60°,所以因为直径所以OB=1,所以则PA+PB的最小值为

四、类比推理

所谓类比推理,是通过对两个研究对象的比较,根据它们某些方面的相同或相类似之处,推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法.相类比的两个对象的相同性愈多,则结论的可靠程度就愈大;相类比的两个对象的共有属性与推出属性之间的联系愈紧密,则结论的可靠程度就愈高.

类比推理的一般步骤:先找出两类对象之间可以确切表述的相似特征,然后用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个结论.

图5

题目4观察上列多面体,并把上表补充完整.观察上表中的结果,你能发现a、b、c之间有什么关系吗?请写出关系式.

三棱柱的顶点数为:3×2=6,棱数为:3×3=9,面数为:2+3=5;四棱柱的顶点数为:4×2=8,棱数为:4×3=12,面数为:2+4=6;五棱柱的顶点数为:5×2=10,棱数为:5×3=15,面数为:2+5=7;六棱柱的顶点数为:6×2=12,棱数为:6×3=18,面数为:2+6=8.所以a+c-b=2.

康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这种方法往往能指引我们前进.”通过以上几个方面的叙述,我们不难看出类比思想在初中数学中教授新知识定义和定理,概念的理解和记忆,探究解题思路,拓展新思考点,推理探究规律,创造性思维的培养有着非常重要的作用.